Как найти экстремум

Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций

Как найти экстремумЧто будем изучать: 1. Введение. 2. Точки минимума и максимума. 3. Экстремум функции. 4. Как вычислять экстремумы? 5. Примеры.

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает.

Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0.

Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x > x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 12 — 3×2, б) y'= 0, при x= ±2,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции. Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а)б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена.

Найдем значения, в которой производная равна нулю:в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 — точка минимума функции. Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом: а) y'= 1 + 2sin(x), б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

Точка x= -5π/6 — точка максимума функции. Точка x= -π/6 — точка минимума функции. Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

Точка x= -2 точка минимума функции. Точка x= 2 — точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует. Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 — 15x — 5.

б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.

г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-ekstremumy-funktsii

Найти экстремумы функции

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x).

Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.

Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.

Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума.

Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
  • Источник: http://allcalc.ru/node/678

    Экстремумы функции, максимум и минимум

    Экстремумы функции, максимум и минимумОнлайн калькуляторы

    На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

    Читайте также:  Как выбрать усилитель в машину

    Справочник

    Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

    Заказать решение

    Не можете решить контрольную?!
    Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

    Говорят, что в точкемаксимум (минимум), если существует такая -окрестность точки—, что для всех из этой окрестности, отличных отвыполняется неравенство .

    Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функциядифференцируема в промежутке. Если в некоторой точкефункцияимеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю:.

    Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функцииравна нулю в точкеи при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точкефункция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точкупроизводная функции не меняет знак, то в этой точке функцияэкстремума не имеет.

    Для исследования функции на экстремум необходимо:

    1. найти критические точки функции;
    2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
    3. вычислить значения максимумаили минимума.

    Примеры исследования функции на экстремум

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/issledovanie-funkcii-i-postroenie-ee-grafika/ekstremumy-funkcii/

    Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

    Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

    Экстремум функции — это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение.

    Как следует из определения в самом начале урока — точки экстремума — объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций в этих точках называются экстремумами функции.

    Рассмотрим график непрерывной функции. Из рисунка сверху видно, что значение функции в точке x2 меньше, чем значения функции в достаточно близких к ней точках, соседних с ней справа и слева. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум.

    В точке x1 значение функции больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум.

    А теперь строгие определения точек экстремума.

    Функция f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x0)  f(x0 + Δx).

    Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер — это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями. На промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке в начале статьи,.

    То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке.

    В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

    Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума — точками локального максимума.

    Следующая теорема позволяет ответить на вопрос, в каких точках функция может достигать экстремума. Сразу подчеркнём: может, но не обязательно достигает.

    .

    , т.е.

    Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум в тех точках, где производная равна нулю, либо в тех точках области определения, где производная не существует.

    Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная функции равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

    Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точкеравна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенствоозначает, что, т. е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.

    Пример 1. Функцияв точке x=0 достигает минимума, но не дифференцируема при x=0, так как в этой точке график не имеет определённой касательной (рис. сверху).

    Пример 2. Функция, изображённая на рисунке сверху, имеет в точкемаксимум, но не дифференцируема в этой точке, так как прикасательная к кривой образует с осью Ox угол.

    Замечание. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет.

    Пример 3. Функция, изображённая на рисунке сверху, имеет производную, которая обращается в нуль при x=0, однако в точке x=0 функция экстремума не имеет.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

    Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно — максимум или минимум.

    Первый достаточный признак экстремума (исследование с применением первой производной)

    Если x0 — стационарная точка функции f(x) и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё первая производная имеет противоположные знаки, то f(x0) является экстремумом функции, причём:

       1) максимумом, если первая производная больше нуля () при x  x0;

       2) минимумом, если первая производная меньше нуля () при x  x0;

    Если же вблизи точки x0, слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x0. В этом случае в точке x0 экстремума нет.

    Всё это означает, что, если x0 — критическая точка f(x) и при переходе через x0 первая производнаяменяет знак, то x0 есть точка экстремума, причём точка максимума, если первая производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точке x0 экстремума нет.

    Пример 4. Исследовать на экстремум функциюи построить её график.

    Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производнаясуществует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых, т.е., откудаи. Критическими точкамииразбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:. Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

    Для интервалаконтрольной точкой может служить: находим. Взяв в интервалеточку, получим, а взяв в интервалеточку, имеем. Итак, в интервалахи, а в интервале.

    Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точкеэкстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале), а в точкефункция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс).

    Найдём соответствующие значения функции:, а. В интервалефункция убывает, так как в этом интервале, а в интервалевозрастает, так как в этом интервале.

    Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. Приполучим уравнение, корни которогои, т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

    Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

    Второй достаточный признак экстремума (исследование с применением второй производной)

    Если функция f(x) дважды дифференцируема и в точке x0 первая производная равна нулю, а вторая производная не равна нулю (и), то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если вторая производная меньше нуля (), и минимум, если вторая производная больше нуля ().

    Замечание 1. Если в точке x0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.

    Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума.

    Пример 5. Исследовать на экстремум функциюи построить её график.

    Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки, т.е..

    Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала.

    Находим производнуюи критические точки функции:

      1);

      2),

    но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

    Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:и. Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку. Для этого найдём вторую производнуюи определим её знак при: получим. Так каки, тоявляется точкой минимума функции, при этом.

    Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

    (здесь символомобозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогичноозначает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если, то. Далее, находим

    ,

    т.е. если, то.

    Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

    Весь блок «Производная»

    Источник: https://function-x.ru/function_extremum.html

    Как найти экстремум?

    Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум.

    Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике.

    В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

    Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций.

    Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать.

    Читайте также:  Как дома сделать апельсиновый сок

    Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

    • найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
    • найти корни уравнения.

    Последовательность нахождения экстремума

    1. Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f '(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
    2. Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось.

      Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.

    3. Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни.

      Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f ' (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится.

      Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.

    4. Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции.

      Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии. 

    Алгоритм нахождения экстремума

    Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

    1. Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
    2. Находим производную от функции f '(x).
    3. Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
    4. Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f '(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
    5. Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
    6. Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
    7. Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

    Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить.

    Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.

    Источник: https://elhow.ru/ucheba/matematika/reshenie-zadach-1/kak-najti-ekstremum

    Точки экстремума функции. Как найти? :

    Математический анализ — это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан.

    Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность.

    Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

    Исследование графика функции

    Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола.

    Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0.

    И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

    Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

    План анализа функции

    Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения — это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х.

    Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х3 + х2 — х + 43 область определения — множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х2 — 2х)/х все немного иначе.

    Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

    Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х2 — 2х)/х.

    Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х2 — 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х — 2) = 0.

    В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

    Точки экстремума на графике функции

    Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы — это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

    Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум — это предельное значений, которое достигает функция на графике.

    Отсюда получается, что существует два крайних значения — максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше.

    На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х5 — 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

    Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции — это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 — это точки экстремума функции, а 4 и -4 — это сами экстремумы.

    Нахождение точек экстремума

    Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать — найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: «Найдите точки экстремума функции y (x), x — аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х3 + 2х2 + х + 54.

    Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше — приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 — 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями.

    Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1.

    Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 — 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает.

    Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 — точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 — точка максимума.

    Сумма точек экстремума функции

    Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.

    Источник: https://www.syl.ru/article/252141/new_tochki-ekstremuma-funktsii-kak-nayti

    Найти экстремум функции | Экстремумы функции | Примеры решений задач

    РЕШИМзадачи контрольные курсовые

    Главная » Примеры решений задач » Экстремумы функции

    19:45Найти экстремум функции
    Калькулятор для нахождения экстремума функции. Данный калькулятор находит производную функции, решает уравнение f ' (x)=0, и выдает точки подозрительные на экстремум (необходимое условие экстремума).Данные точки будут экстремумами, если также будет выполнятся достаточное условие экстремума:Если f '(x) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум.Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.Пример. Найти экстремумы функцииРешение. Вставляем в калькулятор функцию в виде x^3/(4(2-x)^2), нажимаем «Ok», получаем точки подозрительные на экстремум: x=0, x=6Проверим достаточное условие экстремумов:(-∞ ;2) и (6;+∞) — функция возрастает,(-2;6) — функция убываетВыполнение достаточного условия можно было проверить и по другому:Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производнуюf ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную  в самой точке .Если f ' (xо) = 0, f «(x0)>0 (f «(x0)

    Источник: http://www.reshim.su/blog/najti_ehkstremum_funkcii/2013-07-31-371

    Экстремум функции онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

    Экстремум функции онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

    Дается определение экстремума функции, также приводится пример, как с помощью калькулятор онлайн найти экстремум функции.

    Пример

    Имеется функция (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

    Введём её в калькулятор по исследованию функций онлайн:

    Получим следующий результат:

    Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$frac{d}{d x} f{left (x
    ight )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$frac{d}{d x} f{left (x
    ight )} = $$ Первая производная $$- frac{2 x}{left(x^{2} + 1
    ight)^{2}} left(x + x^{3} — e^{x}
    ight) + frac{3 x^{2} — e^{x} + 1}{x^{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Зн. экстремумы в точках: (0, -1) (3.28103090528, 1.01984828342285) (-0.373548376565, -0.977554081645009) Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Убывает на промежутках (-oo, -0.373548376565] U [0, oo) Возрастает на промежутках

    (-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

    Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
    Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

    Вообще — зачем нужен экстремум?

    В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции

    Определение экстремума функции

    Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

    Источник: https://www.kontrolnaya-rabota.ru/diario/2010/02/14/ekstremum-funkcii/

    Локальный экстремум функции. Примеры

    Локальный экстремум функции. Примеры

    Отыскание локальных максимумов и минимумов не обходится без дифференцирования и является необходимым при исследовании функции и построении ее графика.

    Точканазывается точкой локального максимума (или минимума) функции, сли существует такой окрестностьэтой точки, принадлежащий области определения функции, и для всехиз этого окрестности выполняется неравенство(или).

    Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках — ее экстремальными значениями.

    НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА:

    Если функция имеет в точкелокальный экстремум, то либо производная равна нулю, либо не существует.

    Точки которые удовлетворяют выписанным выше требованиям называют критическими точками.

    Однако в каждой критической точке функция имеет экстремум. Ответ на вопрос: будет критическая точка точкой экстремума дает следующая теорема.

    ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

    Теорема І. Пусть функциянепрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точкуи дифференцированная во всех точках этого интервала (за исключением, возможно, самой точки).

    Тогда для точкифункция имеет максимум, если для аргументоввыполняется условие, что производная больше нуля, а дляусловие — производная меньше нуля.

    Если же дляпроизводная меньше нуля, а длябольше нуля, то для точкифункция имеет минимум.

    Теорема ІІ. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точкии производная равна нулю. Тогда в точкефункция имеет локальный максимум, если вторая производная меньше нуляи локальный минимум, если наоборот.

    Если же вторая производная равна нулю, то точкаможет и не быть точкой экстремума.

    При исследовании функций на экстремумы используют обе теоремы. Первая на практике проще, поскольку не требует нахождения второй производной.

    ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ЕКСТРЕМУМОВ (МАКСИМУМОВ И МИНИМУМОВ) С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

    1) найти область определения;

    2) найти первую производную;

    3) найти критические точки;

    4) исследовать знак производнойна интервалах, которые получили от разбиения критическими точками области определения.

    При этом критическая точкаявляется точкой минимума, если при переходе через нее слева направо производнаяменяет знак с отрицательногона положительный, в противном случаэявляется точкой максимума.

    Вместо данного правила можно определять вторую производнуюи исследовать согласно второй теоремы.

    5) вычислить значения функции в точках экстремума.

    Рассмотрим теперь исследование функции на экстремумы на конкретных примерах.

    ————————————

    Примеры.

    Сборник В.Ю. Клепко, В.Л. Голец «Высшая математика в примерах и задачах»

    1. (4.53.7)

    1) Областью определения будет множество действительных чисел

    ;

    2) Находим производную

    3) Вычисляем критические точки

    Они разбивают область определения на следующие интервалы

    4) Исследуем знак производной на найденных интервалах методом подстановки значений

    Таким образом первая точкаявляется точкой минимума, а вторая- точкой максимума.

    5) Вычисляем значение функции

    ——————————

    Источник: http://yukhym.com/ru/issledovanie-funktsii/lokalnyj-ekstremum-funktsii.html

    Нахождение максимума и минимума функции одной переменной. | kontromat.ru — Решение математических задач

    Вперед

    Оглавление

    1. Нахождение максимума и минимума функции одной переменной.
    2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

    Один из типов задач математического анализа: исследовать функцию одной переменной на минимум и (или) максимум. Иногда экстремум (собирательное название для минимума и максимума) функции требуется найти на некотором интервале. Задачи подобного плана попадаются также в курсе средней школы и среди заданий Единого Государственного Экзамена.
    Постановка задачи 1:

    Дана функция, определенная на некотором промежутке. Требуется найти точки максимумов (минимумов) функции.
    Теоретические основы.
    Определение: Говорят, что функцияимеет в точкемаксимум , рис. а) ( или минимум, рис.

    б) ) , если существует некоторая окрестностьв промежутке, где функция определена, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
    ().
    Замечание: Extremum- (латынь) крайнее. Maximum – (латынь) наибольшее.

    Minimum – (латынь) наименьшее.

    Необходимое условие экстремума (Теорема Ферма):

    Пусть функцияопределена на некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная, то необходимо.

    Определение: Если выполняется равенство, то точкубудем называть стационарной точкой.

    Определение: Стационарные точки и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, будем называть точками, подозрительными на экстремум. Иллюстрация некоторых случаев, кроме представленных выше двух:

    1) Экстремума нет, первая производная равна нулю. 2) Точка максимума, первая производная слева и справа бесконечна. 3) Экстремума нет, первая производная слева и справа бесконечна. 4) Точка минимума, первая производная слева не равна первой производной справа.

    5) Экстремума нет, первая производная слева не равна первой производной справа.

    Замечание (Геометрический смысл производной):

    Производная функциив точкечисленно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке.
    Пример 1:

    Рассмотрим функцию. Вычислим производную этой функции:

    Итак, точки, подозрительные на экстремум:Построим график этой функции.
    На графики видно, что функция имеет максимум при, минимумы при. Прифункция экстремума не имеет.

    Из этого примера видно, что равенство нулю производной в точке является обязательным условием экстремума функции в этой точке, но не является достаточным условием.
    Теорема (условие монотонности функции):

    Пусть функцияопределена и непрерывна в непрерывна в некотором промежутке и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобыбыла на этом промежутке монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо и достаточно условие

    Достаточное условие экстремума:

    Предположим, что в некоторой окрестностистационарной точкисуществует конечная производнаяи как слева от,так и справа от( в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

    1)приипри(производнаяпри переходе через точкуменяет свой знак с плюса на минус). Т.е. прифункция возрастает, а при— убывает. Значит, значениебудет наибольшим в промежутке. Другими словами, в точкефункция имеет максимум.

    Пояснение: Сверху от числовой оси указывается знак производной на соответствующем интервале, снизу от числовой оси обозначается поведение функции на соответствующем интервале (убывание или возрастание).

    2)приипри(производнаяпри переходе через точкуменяет свой знак с минуса на плюс). Т.е. прифункцияубывает, а при— возрастает. Значит, значениебудет наименьшим в промежутке. Другими словами, в точкефункция имеет минимум.

    3)приипри(приипри)(производнаяпри переходе через точкуне меняет свой знак). Т.е. функцияв промежуткеубывает (возрастает). Другими словами, в точкефункцияне имеет экстремума.

    Пример 2:

    Рассмотрим вновь функцию.
    Производная этой функции имеет вид:

    Точки, подозрительные на экстремум:. Выясним знаки производной на соответствующих интервалах (решим методом интервалов неравенстваи):

    Из рисунка видно, что в точкепроизводная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. прифункция имеет минимум.

    В точкепроизводная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. прифункция имеет максимум.
    В точкепроизводная меняет свой знак с минуса на плюс, т.е. прифункция имеет минимум.
    В точкепроизводная своего знака не меняет, т.е. экстремума там нет. Полученные данные полностью подтверждаются графиком функции.


    Алгоритм решения задачи 1.

    1) Найти производную функции.

    2) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение.Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

    3) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум.. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной не меняется, то экстремума в этой точке нет.

    4) Найти значение функции в точках минимума (максимума).

    Дополнение:

    Исследование знака первой производной функции по разные стороны от стационарной точки (достаточное условие экстремума) можно заменить исследованием знака второй производной в этой стационарной точке (при условии её существования).
    1) если, то функция имеет в этой точке минимум.
    2) если, то функция имеет в этой точке максимум.
    3) если, то вопрос о существовании экстремума в этой точке остается открытым.


    Пример 3:

    Исследовать на экстремум функцию
    Решение:

    1) Найти производную функции.

    2) Найти стационарные точки (точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение. Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

    Точки, подозрительные на экстремум:,,.(т.к. функция вопределена) 3) Выяснить, меняет ли производная свой знак в точках, подозрительных на экстремум. Если она меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет свой минимум. Если с плюса на минус, то максимум, а если знак производной при переходе через стационарную точку не меняется, то экстремума в этой точке нет.

    Решим неравенство.

    Решим неравенство.

    Построим интервалы на числовой оси:

    Вывод: прифункция имеет минимумы, при— максимум. 4) Найти значение функции в точках минимума (максимума).

    Максимум функции :, минимумы:.

    Можно убедиться в правильности полученных результатов взглянув на график этой функции:

    Используемая литература:
    1) Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1.

    Вперед

    Источник: http://kontromat.ru/?page_id=888

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector