Урок «Уравнения с параметрами»
Задачи с параметрами — одна из самых трудных тем в математике. Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита икс, игрек, зэт и так далее, параметры – первыми буквами а, бэ, цэ, и так далее.
Определение первое.
Уравнением с параметром а называют уравнение вида эф от икс а равно нулю, которое надо решить относительно икс и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число.
Определение второе.
Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения или доказать, что корней нет.
Задачи с параметрами решаются теми же приемами, что и аналогичные задачи без параметров. При решении используются аналитические и графические методы.
Рассмотрим примеры, которые дадут вам некоторое представление о том, как рассуждают при решении уравнений и неравенств с параметрами. Решим простейшие линейные неравенства.
Задание 1
Решить уравнение а икс равно одному.
Решение
Рассмотрим два случая.
Первый случай, если а не равно нулю, то уравнение имеет единственное решение: икс равен один деленное на а;
Второй случай, если a равно нулю, уравнение примет вид ноль умноженное на икс равно единице и, следовательно, оно не имеет решений.
Ответ: если а не равно нулю, то икс равен один деленное на а; если a равно нулю, то уравнение не имеет решений.
Задание 2
Решить уравнение а квадрат икс минус один равно икс плюс a.
Решение
Перенесем икс в левую часть уравнения и вынесем его за скобки. Получим: икс умноженное на разность а квадрат и один равно a плюс один.
Рассмотрим три случая:
Первый случай, если а квадрат плюс один не равно единице, то есть a не равно плюс минус одному, то икс равен дроби, числитель которой — один, а знаменатель — а минус один.
Второй случай, если a равно единице, то уравнение примет вид: ноль умноженное на икс равно двум и, следовательно, не имеет решений.
Третий случай, если a равно минус единице, то уравнение примет вид: ноль умноженное на икс равно нулю, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.
Ответ: если a не равно плюс минус единице, то икс равен дроби, числитель которой один, а знаменатель — а минус один.
Если a равно единице, то уравнение не имеет решений; если a равно минус единице, то любое действительное число является решением этого уравнения.
Задание 3
Решить уравнение: дробь, числитель которой — икс минус два а, знаменатель – икс минус четыре равно нулю.
Решение
Находим ОДЗ уравнения — икс неравен четырем.
Решаем уравнение икс минус два а равно нулю;
Икс равен два а, если икс неравен четырем, то есть два а не равно четырем, а не равно двум.
Итак, если а не равно двум, то уравнение имеет единственное решение — икс равно два а.
Если a равно двум, то уравнение не имеет решений.
Ответ: если не равно двум, то уравнение имеет единственное решение — икс равно два а.
Если a равно двум, то уравнение не имеет решений.
Задание 4
Решить уравнение модуль выражения икс минус а равно двум.
Решение
По определению модуля имеем:
модуль икс минус а равно двум равно совокупности двух уравнений икс равен а плюс два и икс равен а минус два.
Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, икс первое равно а плюс два и икс второе равно а минус два.
Ответ: для любого действительного a уравнение имеет два различных решения:
икс первое равно а плюс два и икс второе равно а минус два.
Задание 5
Решить уравнение модуль икс плюс модуль выражения икс минус а равно нулю.
Решение
Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения(как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Имеем, систему из двух уравнений икс равно нулю и икс минус а равно нулю или система из двух уравнений икс равно нулю и икс равно а.
Таким образом, если a равно нулю, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение икс равно нулю, а если a не равно нулю, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.
Ответ: если a равно нулю, то икс равно нулю; если a не равно нулю, то уравнение корней не имеет.
Рассмотрим более сложные примеры.
Задание 6
При всех значениях параметра а определим число корней кубического уравнения
икс куб минус три икс плюс два минус а равно нулю.
Решение
Выразим а из этого уравнения, имеем:
а равно икс куб минус три икс плюс два. Построим график функции а от икс.
График пересекается с осью Ох в точках: икс первое равно минус два и икс второе равно одному.
Вычислим производную а штрих отикс равно три икс квадрат минус три. Критические точки функции: икс равно плюс минус один. В точке икс равное минус единице функция имеет максимум, равный четырем и в точке икс равное единице — минимум, равный нулю. В этой же системе координат построим также прямую а равно анулевое. Теперь по графику легко ответить на вопрос задачи.
При а меньшем нуля и а большем четырех графики пересекаются в одной точке (данное уравнение имеет один корень), если а равно нулю и а равно четырем графики пересекаются в двух точках (два корня), если а меньше нуля и больше четырех – в трех точках (три корня).
Ответ:
если а меньше нуля и а больше четырех, то данное уравнение имеет один корень;
если а равно нулю и а равно четырем — два корня; если а больше нуля и меньше четырех — три корня.
Задание 7
Решить уравнение эм икс квадрат плюс три эм икс минус сумма эм и двух равно нулю.
Решение
ОДЗ этого уравнения — все действительные числа и имеет смысл при любых действительных значениях параметра эм.
Рассмотрим два случая.
Первый, если эм равно нулю, то уравнение примет вид: ноль икс квадрат плюс ноль икс минус два равно нулю — неверное равенство, уравнение корней не имеет.
Второй случай, если эм не равно нулю, то уравнение является квадратным. Находим дискриминант, дэ равно эм умноженное на сумму тринадцати эм и восьми.
Если дэ больше либо равно нулю, то эм принадлежит объединению числового луча от минус бесконечности до минус восьми тринадцатых и открытого числового луча от нуля до плюс бесконечности. Уравнение имеет два корня: икс первое, второе равно один деленное на два эм умноженное на минус три эм плюс-минус квадратный корень из произведения эм и суммы тринадцати эм и восьми.
Ответ: если эм равно нулю, то уравнение не имеет корней; если эм не равно нулю, то уравнение имеет два корня: икс первое, второе равно один деленное на два эм умноженное на минус три эм плюс минус квадратный корень из произведения эм и суммы тринадцати эм и восьми.
Задание 8
При каких значениях параметра а уравнение минус два синус квадрат икс равно произведению суммы а в квадрате, пять а идва на синус икс имеет ровно четыре корня на отрезке от нуля до двух пи?
Решение
Построим график функции игрек равно синус икс на отрезке от нуля до двух пи.
Выполним преобразования:
перенесем все члены уравнения в правую часть, разложим на множители, получим:
ноль равен синус икс умноженное на сумму синус икс и а квадрат плюс пять а плюс два деленное на два. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений синус икс равно нулю и синус икс равен минус выражение а квадрат плюс пять а плюс два деленное на два.
Уравнение синус икс равно нулю имеет три корня на отрезке от нуля до двух пи.
Значит, второе уравнение на этом отрезке должно иметь один корень, а это возможно тогда, когда минус выражение а квадрат плюс пять а плюс два деленное на два будет равно плюс минус одному.
Получаем совокупность двух уравнений, которая имеет четыре решения: а равно минус единице, а равно минус четырем, а равно нулю, а равно минус пяти.
Ответ: а равно минус единице, а равно минус четырем, а равно нулю, а равно минус пяти.
Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-uravneniya-s-parametrami-1081.html
Уравнения с параметрами в школьном курсе математики
— таков общий вид названного уравнения.
Его решение состоит из следующих частей:
1. Если, то- единственный корень уравнения.
2. Если, то могут быть случаи:
а), уравнение решений не имеет;
б), любое число является корнем уравнения.
Результатом решения служит ответ:
1),- любое,;
2),,- любое число.
3.1.1. Примеры линейных уравнений с параметрами
Пример 1. Решить уравнение ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:
х =. Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если а = 0, то решений нет; если а ≠ 0, то х =.
Пример 2. Решить уравнение (а2 – 1)х = а + 1.
Решение. Рассмотрим случаи:
1) а = 1, тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;
2) а = -1,получаем 0х = 0, очевидно х – любое;
3) а ≠ ± 1; имеем х =.
Ответ: Если а = — 1, то х – любое; если а = 1, то нет решений; если а ≠ ± 1, то х =.
Пример 3:
После преобразования получаем равносильное данному уравнение
.
-
Если, т.еи, то
-
Если, т.еили, то: 1) при, получается уравнение, которое корней не имеет; 2) при, получается уравнение, корнем которого является любое число.
Ответ: 1)и,;
2), нет корней;
3),- любое число.
Пример 4:
После преобразования получаем равносильное данному уравнение:
.
-
Если, то
-
Если, т.е ., то нет корней
Ответ: Если, то;
Если, т.е, то нет корней
Пример 5:(1)
После преобразования получаем равносильное данному уравнение:
,,
-
Еслии, то получаем;
-
Если, то, следовательно уравнение (1) не имеет решения;
-
Если, то получаем, т.е., значит- любое;
Ответ: 1)и,;
2), нет корней;
3),- любое.
Пример 6. Решить уравнение
2а•(а-2)•х = а-2. (2)
Решение.
Рассмотрим случаи:
1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0•х=2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0•х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.
0твет: 1) если а=0, то корней нет;
2) если а=2, то х — любое действительное число;
3) если а≠0, а≠2 , то х =.
Пример 7:
Преобразуем данное уравнение:;
;
;
-
Если, т.е., то;
-
Если, то;
;
, нет корней.
Ответ: 1),;
2), нет корней.
Источник: http://qp1qp.narod.ru/urav_lin.html
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z.
Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот. Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, — степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами.
Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра.
Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда.
Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят.
Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
При решении задач с параметрами иногда удобно, а иногда просто необходимо, строить графики.
- Решить уравнение.
Решение.
Рассмотрим функции и .
| При нет решений;при и два решения;при — четыре решения;при — три решения.Ответ:при нет решений;при и два решения;при — четыре решения;при — три решения. |
2. Найти все значения, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два корня. Если таких значений больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение.
Разложим квадратный трехчлен на множители.
;
;
;
Получим. Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если и
Отсюда находим, что искомыми значениями являются
.
Ответ: -5.
3. Найти все значения, при которых корни уравнения положительны.
Решение.
Контрольная точка, т.к. меняет суть уравнения.
1. ;
.
2.
Получим
.
Ответ:
4. Указать при каких значениях параметрасистема уравнений имеет два решения.
Решение.
Если — не имеет смысла.
Поэтому, ОДЗ .
;
;
Т.к., то корни могут оба положительные или один положительный, а другой равен 0.
1. Если корни положительные, то
.
2. Если то.
Объединяя решения п.1 и п.2, получим
Ответ:
5. При каких значениях параметра уравнение имеет 3 корня.
Решение.
Построим графики функций и.
| На отрезке [1; 3] построен график функции.Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции будет являться касательной к графику наотрезке [1; 2]. |
Уравнение касательной имеет вид
Т.к. уравнение касательной, получим систему уравнений
Т.к.,
Ответ: при
6. Решите уравнение.
Решение.
Учитывая нечетность функции, данное уравнение сведем к ему равносильному
.
| 1. b = -1; | , |
| (*) | |
| 2. b = 0; | |
| (**) | |
| 3. b = -2; | |
| (***) | |
| 4. | Решений нет. |
| 5. | |
| () | |
| 6. | |
| () |
- Решите неравенствопри всех значениях.Решение.
Воспользуемся последовательно 2 раза условием равносильности:
Еслито при решений нет.
8.Найдите все значения параметра ?, при каждом из которых среди решений неравенства нет ни одной точки отрезка [7;9,6].
Решение.
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка [7;9,6].
Пусть, При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. Х можно выразить через t, если. Поэтому случай, когда, рассмотрим отдельно.
1.
Пусть, тогда х>0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть, тогда и неравенство примет вид
Решение неравенства зависит от значений, поэтому придется рассмотреть два случая .
1). Если ?>0, то, или в старых переменных,
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка, тогда и только тогда, когда выполнены условия Отсюда,.
2). Если а
Источник: http://elanschool2.narod.ru/doki/uch/Matematika/Samostoyatelnoe/1.htm
Уравнения с параметрами
ПЛАН
Введение
Глава 1.
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
§2. Основные виды уравнений с параметрами.
Глава 2.
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы «Уравнения с параметрами». Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.
Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.
ГЛАВА 1
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
Рассмотрим уравнение
F (х, у, …, z; α,β, …, γ ) = 0 (F )
с неизвестными х, у, …, z и с параметрами α,β, …, γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α0 ,β0 , …, γ0 уравнение (F) обращается в уравнение
F(х, у, …, z; α0 ,β0 , …, γ0 ) = 0(F0 )
с неизвестными х, у,…, z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.
Определение. Два уравнения (системы)
F(х, у, …, z; α,β, …, γ) = 0 (F ),
Ф (х, у, …, z; α,β, …, γ) = 0 (Ф )
с неизвестным х, у,…, z и с параметрами α,β, …, γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.
Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
F(x, у,,z; α,β, …, γ) =0 (F )
задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, …, γ );
у = у(α,β, …, γ);….
z= z (α,β, …, γ). (Х)
Говорят, что система функций (Х ), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F ), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,…, z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:
F ( x (α,β, …, γ), y( α,β, …, γ),…, z (α,β, …, γ ) ≡0.
При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α0 ,β=β0 , …, γ= γ0 соответствующие значения функций (Х ) образуют решение уравнения
F(х, у, …, z; α0 ,β0 , …, γ0 ) = 0
§2. Основные виды уравнений с параметрами .
Линейные и квадратные уравнения.
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х =.
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
П р и м е р . Решим уравнение
2а(а — 2) х=а — 2. (2)
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2.
При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно.
Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1 ={0}, А2 ={2} и Аз= {а ≠0, а ≠2}
и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а= 0 ; 2) а= 2 ; 3) а≠0, а≠2
Рассмотрим эти случаи.
1) При а= 0уравнение (2) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а= 2уравнение (2) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=
откуда х=.
0 т в е т: 1) если а= 0, то корней нет; 2) если а= 2, то х — любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х =
П р и ме р . Решим уравнение
(а — 1) х 2 +2 (2а +1) х +(4а +3) =0; (3)
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а =l; 2) а ≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a =1 уравнение (3) примет вид бх +7=0. Из этого
уравнения находим х= -.
2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао , то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при аао D>0).
Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при аао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения.
Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем= 5а+4.
Из уравнения=0 находим а=— второе контрольное значение параметра а. При
этом если а < , то D<\p>
Источник: http://MirZnanii.com/a/312707/uravneniya-s-parametrami
Как решать уравнения с параметром
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.
В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в зависимости от значения параметра.
Все эти задачи с параметрами.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнение пропорцией онлайн»
Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:
[у = kx,] где [x, y] — переменные, [k ]- параметр;
[у = kx + b,] где [x, y] — переменные, [k, b] — параметр;
[аx^2 + bх + с = 0,] где [x] — переменная, [а, b, с] — параметр.
Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.
Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:
1. Определить «контрольные» значения параметра.
2. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, определенных в первом пункте.
3. Решить исходное уравнение относительно [x] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.
Допустим, дано такое уравнение:
[mid 6 — x mid = a.]
Проанализировав исходные данные, видно, что a [ge 0.]
По правилу модуля [6 — x = pm a, ] выразим [x:]
[x = 6 pm a. ]
Ответ: [x = 6 pm a,] где [a ge 0.]
Где можно решить уравнение с параметром онлайн?
Источник: https://pocketteacher.ru/solve-equation-with-parameters-ru
Решение уравнений с параметрами. Урок 1. Линейные уравнения с параметрами
Урок 1 Линейные уравнения с параметрами
Урок 2 Квадратные уравнения с параметрами
Урок 3 Уравнения с параметрами, решаемые по теореме Виета
Урок 4 Решение задач с параметрами. Экстремум.
Урок 5 Решение задач с параметрами. Функции.
Урок 6 Решение системы неравенств с параметрами
Урок 7 Решение системы уравнений с параметрами
Урок 8 Система уравнения и неравенства
Урок 9 Параметры с нуля
Урок 10 Уравнение с параметром и модулем
Урок 11 Показательное уравнение с параметром
Урок 12 Тригонометрическое уравнение с параметром
Урок 13 Возвратное уравнение с параметром
Урок 14 Решение уравнения с параметром с помощью производной.
Урок 15 Графическое решение уравнения с параметром.
Урок 16 Иррациональное неравенство с параметром.
Урок 17 Решение уравнений с модулем и параметром с помощью геометрической интерпретации.
Урок 18 Принцип необходимости и достаточности при решении задач с параметрами.
Урок 19 Решение дробно-рационального неравенства с параметром.
Урок 20 Решение уравнения с параметром содержащий корень
Тема урока: Линейные уравнения с параметрами
Уравнения, содержащие помимо неизвестных, еще и буквенные величины называются уравнениями с параметрами. Математическая структура ( уравнение, неравенство, система, совокупность), содержащие, помимо неизвестных, ещё и буквенные величины, называются структуры с параметрами.
Например уравнение аx=b это простейшее линейное уравнение, и в зависимости от соотношений коэффициентов a и b возможны три случая: если а равно нулю и b равно нулю, если а не равно нулю и если a равно нулю и b не равно нулю. Рассматриваются обычно две постановки задачи с параметрами. Первая постановка.
Для каждого допустимого значения параметра или параметров найти все решения заданной математической структуры, например, решить неравенство аx2-2/3
Источник: http://matematika-doma.ru/index.php?newsid=292
Уравнения с параметром, формулы и примеры
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Например.
Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.
Для уравнения с параметром особым или контрольным значением параметра называется такое значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Линейное уравнение
записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где является неизвестной величиной, а— параметры.
Для линейного уравнения (1) особым значением параметра есть значение.
Рассмотрим два случая значения указанного параметра (параметр равен своему особому значению и отличен от него).
Случай 1а. Если, то при любой паре параметров и уравнение (1) имеет единственное решение
Случай 2а. Если, то уравнение (1) принимает вид:
А тогда значениеявляется особым значением параметра . Поэтому рассмотрим далее два случая этого параметра:
Случай 1b. Приуравнение решений не имеет:.
Случай 2b. Приуравнение принимает вид
Решением последнего является любое действительное число, то есть.
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! |
Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-uravnenij/uravneniya-s-parametrom/
Загрузка...
