Как решать логарифмы

Основные свойства логарифмов

Как решать логарифмы

2 февраля 2017

  • Материалы к уроку
  • Скачать все формулы

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. loga x + loga y = loga (x · y);
  2. loga x − loga y = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

  1. loga xn = n · loga x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

  1. n = loga an

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. loga a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. loga 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Источник: https://www.berdov.com/docs/logarithm/basic_properties/

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

  • Основное логарифмическое тождествоa logab = bПример.82log83 = (82log83)2 = 32 = 9
  • Логарифм произведения равен сумме логарифмовloga (bc) = logab + logacПример.log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4
  • Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab — logacПример.9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81
  • Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифмаПоказатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogabПоказатель степени основания логарифма loganb =1/n*logabloganb m = m/n*logab,если m = n, получим loganb n = logabПример.log49 = log223 2 = log23
  • Переход к новому основаниюlogab = logcb/logca,если c = b, получим logbb = 1тогда logab = 1/logbaПример.log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Источник: http://reshit.ru/formuly-logarifmov-logarifmy-primery-resheniya

Логарифмы – свойства, формулы, как решать

Главная ← Математика ← Теория ← Логарифмы – свойства, формулы, как решать

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(x ⋅ y) = logax + logay

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

loga(x / y) = logax – logay

Читайте также:  Первый секс: как это бывает, мифы и реальность

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

  • Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
  • Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

Источник: http://worksbase.ru/matematika/teoriya/789-logarifmy-svoistva-formuly.html

Логарифмические выражения. ПРИМЕРЫ!

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения.

Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно.

Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо  всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту же степень возводится каждый множитель.

Так же необходимо знать следующее свойство:

Рассмотрим примеры:

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении  простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/logarifmicheskie-vyrazheniya-primery.html

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмовСайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-01-26

Главная » СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения ии мы хотим найти значение.

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвестичтобы получить.

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные инакладываются такие ограничения: ,  ,  

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение, мы берем логарифм числа по основанию:

Итак,

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

           ,  ,  

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(,  ,  ,  ,  

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. 

7. 

8. 

9. 

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. 

11. 

12. (следствие из свойства 11)

Следующие два свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13. 

14. 

Частные случаи:

десятичный логарифм

 —  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6)=

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену  

Получим:

Ответ:  1 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/01/26/logarifm-svoystva-logarifmov

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами.

Теория

Конспект урока

На предыдущих уроках мы обсуждали показательную функцию, решение показательных уравнений и неравенств.

Когда мы обсуждали решение показательных уравнений, то нам всегда удавалось представить обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями.

Но вполне логично, что может возникнуть ситуация, когда это сделать не удастся. Например, решить уже рассмотренными методами уравнение не получится, так как 5 мы пока не умеем представлять в виде степени с основанием 2.

С другой стороны, мы обсуждали тот факт, что показательная функция принимает любое положительное значение. Поэтому, в какой-то точке значение функции должно равняться 5.

Фактически, мы столкнулись с ситуацией, похожей на извлечение корня – мы точно знали, что есть число, квадрат которого равен 2, но не могли записать его доступными нам методами. В том случае мы поступили следующим образом: ввели новое понятие «корень» и операцию извлечение корня, которая была обратна возведению в степень.

Возвращаясь к нашей проблеме, нам придётся поступить аналогично. Обозначим степень, в которую надо возвести 2, чтобы получить 5, как – логарифм пяти по основанию 2.

То есть, определение логарифма следующее: для. То есть, логарифм показывает: в какую степень необходимо возвести основание логарифма (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

Рассмотрим простейшие примеры вычисления логарифмов:

1) , так как.

2) , так как.

3) , так как.

4), так как.

Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом:.

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием  (напомним, что). Он обозначается следующим образом:.

Исходя из определения логарифма, легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем:.

Это выражение называется основным логарифмическим тождеством.

Давайте сформулируем ещё несколько основных свойств логарифмов ().

1)      (т.к.), 

2)      

3)    

4)     

5)    Формула перехода к новому основанию: 

6)    (т.к.)

7)    (т.к.)

На этом уроке мы с вами сформулировали определение логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифма.

В практической части урока мы научимся вычислять различные логарифмы, а также преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Полезные ссылки:

1)      Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма» 

2)      Алгебра 11 класс: «Понятие логарифма. Простейшие задачи»

3)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного» 

4)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Логарифм степени» 

5)      Алгебра 11 класс: «Свойства логарифмов. Решение более трудных задач» 

6)      Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма» 

7)      Алгебра 11 класс: «Переход к новому основанию логарифма. Решение задач» 

Источник: https://interneturok.ru/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-3-logarifm-svoystva-logarifmov-vyrazheniya-s-logarifmami-teoriya

Логарифм равен логарифму

Логарифм равен логарифму

Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:

При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.

Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,

ОДЗ:

По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию

следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:

Читайте также:  Что надо добавить в почву, высевая помидоры на рассаду

А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).

Примеры.

ОДЗ:

Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ:2.

Если разность логарифмов равна нулю,  уравнение может быть представлено в виде «логарифм равен логарифму»:

Поэтому в ОДЗ достаточно записать лишь одно условие:

Поскольку равны логарифмы с одинаковыми основаниями, выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:

Второй корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 1,5.

Источник: http://www.logarifmy.ru/logarifm-raven-logarifmu/

логарифмы | математика-повторение

Записи с меткой «логарифмы»

logarbr=logab   или  logab=logarbr

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

1) Сравнить log39 и log981.

log39=2, так как 32=9;

log981=2, так как 92=81.

Значит, log39=log981.

Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=32, а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=92. Получается, что и число и основание первого логарифма log39 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

Далее, так как извлечение корня n-й степени из числа а есть возведение числа а в степень (1/n), то из log981 можно получить log39 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

2) Проверить равенство: log425=log0,50,2.

Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25; получаем: log425=log25.

Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5=1/2. Число под знаком этого логарифма: 0,2=1/5. Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

0,5-1=(1/2)-1=2;

0,2-1=(1/5)-1=5.

Таким образом, log0,50,2=log25. Вывод: данное равенство верно.

Решить уравнение:                   

log4x4+log1681=log2(5x+2).    Приведем логарифмы слева к основанию 2.

log2x2+log23=log2(5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

log2(3×2)=log2(5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

3×2=5x+2. Получили после потенцирования.

3×2-5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 действительных корня.

Проверка.

x=2.

log424+log1681=log2(5∙2+2);

log222+log23=log212;

log2(4∙3)=log212;

log212=log212;

12=12.


loganb
=(1/n)∙logab

Логарифм числаb по основанию an равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

Найти: 1) 21log83+40log252; 2) 30log323∙log1252, если известно, что log23=b, log52=c.

Решение.

Решить уравнения:

1) log2x+log4x+log16x=5,25.

Решение.

Приведем данные логарифмы к основанию 2.  Применим формулу: loganb=(1/n)∙logab

log2x+(½) log2x+(¼) log2x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

(1+0,5+0,25)·log2x=5,25;

1,75·log2x=5,25  |:1,75

log2x=3. По определению логарифма:

x=23

x=8.

Ответ: 8.

2) 0,5log4(x-2)+log16(x-3)=0,25.

Решение.  Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

0,5log4(x-2)+0,5log4(x-3)=0,25 |:0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

log4((x-2)(x-3))=0,5;

log4(x2-2x-3x+6)=0,5;

log4(x2-5x+6)=0,5. По определению логарифма:

x2-5x+6=40,5

x2-5x+6=2;

x2-5x+4=0. По теореме Виета:

x1=1; x2=4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

Проверим данное уравнение при х=4.

Проверка.

0,5log4(4-2)+log16(4-3)=0,25

0,5log42+log161=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

0,25=0,25.

Ответ: 4.

logab=logcb/logca

Логарифм числа b по основанию а равен  логарифму числа b по новому основанию с, деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.

Примеры:

1) log23=lg3/lg2;

2) log87=ln7/ln8.

Вычислить:

1) log57, если известно, что lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.

log57=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Ответ: log57≈1,2090≈1,209.

2) log57, если известно, что ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Решение. Применяем формулу: logab=logcb/logca.

log57=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Ответ: log57≈1,2091≈1,209.

Найдите х:

1) log3x=log34+log56/log53+log78/log73.

Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:

log3x=log34+log36+log38;

log3x=log3(4∙6∙8);

log3x=log3192;

x=192.

2) log7x=lg143-log611/log610-log513/log510

Используем формулу: logcb/logca=logab. Получаем:

log7x=lg143-lg11-lg13;

log7x=lg143- (lg11+lg13);

log7x=lg143-lg (11∙13);

log7x=lg143-lg143;

log7x=0;

x=70;

x=1.

Страница 1 из 11

Источник: http://www.mathematics-repetition.com/tag/logarifm

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма

Сохрани ссылку в одной из сетей:

ОБУЧАЮЩИЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМЕ:

«Примеры решений логарифмических уравнений»

Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма.

Примеры логарифмических уравнений:=lgи т.д.

Решать логарифмическое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Рассмотрим некоторые способы решения логарифмических уравнений.

Отметим, что в описанных ниже способах решения логарифмических уравнений применяются только такие преобразования, которые не приводят к потере корней, а могут лишь привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. По определению логарифма имеем: 2х+1=, 2х=8, х=4.

Проверка:

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. По определению логарифма имеем:,

Проверка: 1) Значение х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+1 не должно равняться 1.

2)

Ответ: 2

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Применяя последовательно определения логарифма, получим:

Проверка:
Ответ: 3

Задание 1. Решите уравнения: а)б)в)

Метод потенцирования.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Из равенства логарифмов чисел следует:

х=6-,

Проверка: 1) число -3 корнем данного уравнения быть не может, так как логарифмы отрицательных чисел не существует.

2)

Ответ: 2.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Потенцируя данное равенство, получим:

Проверка: 1)-– корень.

2)– не существует.

Ответ: -1.

Пример 6. Решите уравнение

Решение.

Проверка: 1)– не существует, х=-4 – не корень.

2)– не существует, х=6 – не корень.

Ответ: уравнение решения не имеет.

Задание 2. Решите уравнения:

а)

б)

Приведение логарифмического уравнения к квадратному

Пример 7. Решите уравнение.

Решение. Обозначим lg х через y. Данное уравнение принимает вид:

lg х=-3,

lg х=1,

Проверка: 1)3-21g0,001=9, х=0,001- корень.

2), 3-21g10=1, х=10 – корень.

Ответ: 0,001; 10.

Задание 3. Решите уравнение: а)

б)

Уравнения, решаемые приведением логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример 8. Решите уравнения:

а)б)

Решение.

а)

Проверка:
Ответ: 16

б),2,

Проверка:

Ответ: 3.

Задание 4. Решите уравнения: а)б)

Уравнения, решаемые логарифмированием его обеих частей.

Пример 9. Решите уравнение

Решение. Логарифмируя обе части уравнения (х˃0), получим:

(lg х+2)*lg х = lg 1000,

Заменим lg х=у. Уравнение принимает вид:

lg х=-3,lg х=1,

Проверка: 1)

Х=0,001 – корень данного уравнения.

2)

Ответ: 10; 0,001.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

  1. Приведите примеры логарифмических уравнений.

  2. Почему при решении логарифмических уравнений потенцированием возможно появление посторонних корней?

  3. Назовите способы решения логарифмических уравнений.

  4. Составьте план решения уравнения:

а)б)

5. Решите уравнения:

а)б)

в)г)

д)е)

ж)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з) 0,5

7. Решите уравнения:

а);

б)

в)

г)

д) 3(

е) 0,1

8. Решите уравнения:

а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)

9. Решите уравнения:

а)=4 б) 2=5
в) г) 3
д)

10. Решите графические уравнения:

а) х+ б)
в) г)
д) 2
  1. Урок

    … анализа. Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств» Тип урока … основание логарифма 0< < 1. Функция у = , стоящая в правой части уравнения, монотонно возрастает на промежутке [3; + ). Поэтому уравнение

  2. Документ

    определения и свойства логарифмической функции, получить равносильные неравенства: а) б) в) 3. Записать ответ Решение логарифмических уравнений 1.Используя определение логарифма … к системе на основании того, что если логарифмы двух выражений равны …

  3. Документ

    … число. Тогда уравнение (***) называют простейшим логарифмическим уравнением. Например, уравнения , , являются простейшими логарифмическими уравнениями. По определению логарифма если число …

  4. Рабочая программа

    … . Решение логарифмических уравнений. 1 61. Решение логарифмических уравнений методом замены переменной. 1 62. Решение логарифмических уравнений с помощью свойств логарифмов. 1 63. Решение логарифмических уравнений с помощью разложения на

  5. Документ

    решения логарифмических уравнений: (слайд 8) 1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд 9) loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = ас. На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых: по данным основаниям

Другие похожие документы..

Источник: https://gigabaza.ru/doc/30058.html

Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений

Данный калькулятор позволяет найти решение логарифмических уравнений. Логарифмическое уравнение – это уравнения, в которых переменная величина находится под знаком логарифма.

Логарифмическая функция всегда монотонна и может принимать любые значения.

Кроме того, переменный аргумент логарифма должен быть больше нуля и переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

При решении логарифмических уравнений зачастую необходимо логарифмировать или потенцировать обе части уравнения. Логарифмировать алгебраическое выражение — выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Потенцирование – нахождение выражения, от которого получен результат логарифмирования.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно ввести это уравнение в ячейку и нажать на кнопку «Вычислить». В ответе отображаются корни уравнения и график логарифмической функции. Калькулятор поможет найти решение логарифмических уравнений онлайн.

Читайте также:  Как узнать остаток минут на мегафоне

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
  • Источник: http://allcalc.ru/node/668

    Решение логарифмов в онлайн калькуляторе

    Решение логарифмов в онлайн калькуляторе

    Данная страница рассматривает способы решения логарифмов, как еще одну функцию в богатом арсенале, которым располагает бесплатный калькулятор на нашем сайте.

    Калькулятор, считающий логарифмы онлайн, станет незаменимым помощником для тех, кому нужно простое решение математических выражений.

    В нашем калькуляторе любой может легко и быстро посчитать логарифм, не зная логарифмических формул, и даже не представляя суть логарифма.

    Буквально 20-30 лет назад решение логарифмов требовало серьезных знаний в математике и как минимум умения пользоваться таблицей логарифмов или логарифмической линейкой. Чтобы привести к табличному виду исходное выражение, часто приходилось осуществлять сложные преобразования, учитывая свойства логарифмов и их функций.

    Сегодня же достаточно иметь доступ в интернет, чтобы без труда вычислять всевозможные логарифмические уравнения и неравенства любой сложности. Размещенный на нашем сайте онлайн калькулятор может любой логарифм вычислить за одно мгновение!

    Решение логарифма logyx сводится к нахождению ответа на вопрос, в какую степень требуется возвести основание логарифма y, чтобы получилось значение равное x. Онлайн калькулятор логарифмов поможет рассчитать все виды логарифмов: двоичные, десятичные и натуральные логарифмы, а также логарифм комплексного числа и логарифм отрицательного числа и др.

    Вычисление логарифмов в online калькуляторе записывается как log и выполняется с помощью четырех кнопок: нахождение двоичного логарифма, решение десятичных логарифмов, с произвольным основанием и вычисление натурального логарифма.

    Некоторые кнопки могут использоваться для записи одного и того же действия. Возьмем, к примеру, расчет логарифмов с произвольным основанием.

    Понятно что, если указать основание 10, то рассчитается десятичный логарифм, а если 2, то двоичный.

    Учитывая, что математическое выражение можно и вручную набрать, тогда тот же самый десятичный логарифм посчитать можно тремя способами (точнее записать эту операцию в калькуляторе):

    1. используя кнопку log, тогда нужно указать только число,
    2. с помощью кнопки logyx, через запятую указываются число и основание логарифма,
    3. внести обозначение логарифма вручную.

    Подробную информацию о том, как работать с клавиатурой калькулятора, а также обзор всех его возможностей, можно найти на страницах кнопки калькулятора и функции калькулятора.

    Логарифм по основанию 2

    Используйте эту кнопку, чтобы рассчитать логарифм, основание которого равно двум (его также называют двоичный логарифм).

    В строке ввода отобразится запись log2(x), соответственно, вам остается внести число, без указания основания, и произвести расчет. В примере найден ответ, чему равен логарифм 8 по основанию 2.

    Логарифм по основанию 2:

    Десятичный логарифм

    Эта кнопка поможет найти логарифм числа по основанию 10.

    Логарифм десятичный онлайн калькулятор обозначает записью log(x x,y). На рисунке рассчитано, чему равен десятичный логарифм числа 10000.

    Логарифм по основанию 10:

    Натуральный логарифм

    Клавишей ln выполняется решение натуральных логарифмов, основанием которых является число е. Основание натурального логарифма е — число Эйлера — равно 2.71828182845905.

    Онлайн калькулятор может определить, чему равен натуральный логарифм любого числа. На рисунках в качестве примера найдены значения натурального логарифма: слева — ln логарифм числа 8, справа — натуральный логарифм от числа 50.

    Натуральные логарифмы, примеры решения:

    Как решать логарифмы с произвольным основанием?

    Конечно, калькулятор, позволяет решить логарифм онлайн не только по определенному, но по любому основанию. Чтобы найти значение логарифмов с произвольным основанием для любого числа, используйте предназначенную для этого кнопочку logyx, она подставляет в строке ввода запись log(x x,y).

    Определение логарифма числа:

    Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе. Функции онлайн калькулятора >>

    Решение логарифмов в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

    Источник: http://compuzilla.ru/calculator-online/reshenie-logarifmov/

    Персональный сайт — Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмические и неравенства

    Персональный сайт - Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмические и неравенства

    Логарифмическое уравнение.

    Определение:

    Логарифмическое уравнение – это уравнение вида

    loga b(x) = loga c(x),   где а > 0, a ≠ 1.

    Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями.

    Правило:

    Логарифмическое уравнение loga b(x) = loga c(x) равносильно уравнению b(x) = c(x),
    если b(x) > 0 и c(x) > 0.

    Пояснение:

    В процессе решения логарифмического уравнения loga b(x) = loga c(x) надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение b(x) = c(x).

    Важно знать:

    1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания. Возьмем для примера уравнение:

    log5 (3x – 8) = log5 (x + 2).

    Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду:

    3x – 8 = х + 2.

    Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение можно потенцировать.

    2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть коэффициент, то  в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру, нельзя потенцировать уравнение такого типа:

    3log2 b = log2 25b.

    Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив одно из свойств логарифмов loga bn = n · loga b, мы можем преобразовать выражение слева:

    3log2 b = log2 b3.

    Тогда наше уравнение обретает другой вид:

     log2 b3 = log2 25b.

    Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов:

    b3 = 25b.

    И такое уравнение решать намного проще:

    b3 : b = 25

    b3 – 1 = 25

    b2 = 25

    b = √25 = 5

    3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя потенцировать уравнение, если в какой-то из его частей больше одного логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении

    log2 x + log2 (x + 1) = log2 (х + 9).

    В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения:

    log2 x + log2 (x + 1) = log2 x (х + 1) = log2 x2 + х.

    У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение принимает новый вид:

    log2 x2 + х = log2 (х + 9).

    И мы уже можем убрать значки логарифмов:

    x2 + х = х + 9

    Решаем это простое уравнение:

    х2 + х – х = 9

    х2  = 9

    х = √9 = 3.

    Пример.

    Решим уравнение

    log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

    Решение.

    1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида b(x) = c(x):

    x2 – 3x – 5 = 7 – 2x

    2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

    x2 – 3x – 5 – 7 + 2x = 0

    x2 – x – 12 = 0

    Решив квадратное уравнение, находим его корни:

    x1 = 4, x2 = –3.

    3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.

    Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства:

    x2 – 3x – 5 > 0,

    7 – 2x > 0.

    При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.

    При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.

    Логарифмическое неравенство.

    Определение:

    Логарифмическое неравенство – это неравенство вида

    loga b(x) > loga c(x),   где а > 0, a ≠ 1.

    Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами.

    Правило:

    Если b(x) > 0 и c(x) > 0, то:

    — при a > 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно неравенству b(x) > c(x);

    — при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство loga b(x) > loga c(x) равносильно неравенству с противоположным смыслом b(x) loga c(x) обычно применяют систему неравенств следующего вида:

    При a > 1:

    │ b(x) > 0,

    │ c(x) > 0,
    │ b(x) > c(x)

    При 0 < a < 1:

    │ b(x) > 0

    │ c(x) > 0
    │ b(x) < c(x).

     
    Обратите внимание: первые два неравенства одинаковы в обеих системах. Различаются по смыслу только третьи неравенства.

    Пример.

    Решим неравенство log3 (2x – 4) > log3 (14 – x).

    Решение.

    1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:

    │ 2x – 4 > 0
    │14 – x > 0
    │2x – 4 > 14 – x.

    Решаем неравенства и получаем:

    │x > 2
    │x < 14
    │x > 6

    Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ:

    6 < x < 14.

    Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-269

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector