Как решать уравнения с корнями

Иррациональные уравнения. Средний уровень

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

И не забудь еще об одном… У нас ты можешь пройти Пробный ЕГЭ по математике и получить результ немедленно. Но если тебе это не нужно, читай дальше.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида .

Например: . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

А как решить такое: ?

И снова вспомним определение корня степени : – это такое число, которое нужно возвести в степень , чтобы получить . В данном случае эта степень равна :

Итак, общее правило:

Хорошо, а что с этим: ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – и , ведь . Не забываем правило:

Реши сам:

Ответы:

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы: . При возведении в квадрат получаем , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

ОДЗ: .

Но при таких правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна. Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при : .

Ответ: .

Еще пример:

Решение:

Найдем ОДЗ:

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим в уравнение. Что получилось? Если получилось , все верно: корень подходит.

Ответ: .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида

Здесь и далее большими буквами , , , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись соответствует, например, уравнению : здесь и .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

Примеры (реши сам):

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть :

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где , все хорошо. Но если мы выбираем , придется кое-что сказать и про :

Примеры (реши сам):

Ответы:

Иррациональные уравнения вида

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

Возводим обе части в квадрат:

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

– все и правда верно, – подходящий корень.

– а вот здесь ошибка. Значит, корень – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

Проверять же ОДЗ корня () здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

Ответы:

Первое уравнение решим через дискриминант:

Что проще: узнать, какой из этих корней больше , или подставить их в начальное уравнение для проверки? Конечно, первое!

Теперь становится очевидной выгода равносильного преобразования вместо проверки корней подстановкой в исходное уравнение.

Не знаешь, как такое сравнивать? Смотри тему «Сравнение чисел»!

: этот корень явно больше , поэтому он автоматически больше .

Выходит, что оба корня являются решениями.

Ответ:

3) .

Прежде чем возводить в квадрат, обрати внимание: в левой части уравнения разность корней, причём мы не знаем, какой из них больше. Но ведь возводить в квадрат можно только когда обе части уравнения (или неравенства) неотрицательны, иначе у нас вылезут сторонние корни. Здесь проблема решилась легко: мы просто перенесли корень с «минусом» вправо, и он стал с «плюсом».

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

Теперь решаем по шаблону:

Теперь необходимо сравнить числа , и . Снова вспоминаем тему «Сравнение чисел»:

Значит, ответом будет .

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени

Корни , , , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

Например:

II. Корни нечетной степени

С нечетными степенями (, , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

Примеры:

Ответы:

Источник: https://youclever.org/book/irratsionalnye-uravneniya-2

Иррациональные уравнения на примерах

Иррациональными называют уравнения в которых неизвестная величина находится под знаком корня определенного степени. Простейшие иррациональные уравнения решаются или подъемом в степень или заменой . Сложные иррациональные уравнения сводятся к предыдущим некоторыми искусственными методами . Например, такое на первый взгляд сложное уравнение

сводится к квадратному заменой

Зачастую при раскрытии иррациональности используют формулу сложного радикала

Стоит отметить, что при решении иррациональных уравнений необходимо определять область допустимых значений.

Кроме того следует производить проверку, подставляя найденные значения неизвестных в исходное уравнение, поскольку при возведении в степень мы увеличиваем степень уравнения что может привести к появлению посторонних корней.

Перейдем к вычислениям.

Пример 1. Найти решение уравнения

Решение:

Находим область допустимых значений

Подносим обе части уравнения в квадрат и решаем

Получили решение x=3.

————————-

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение:

ОДЗ для уравнения

Раскрываем иррациональность уравнения и находим

Он принадлежит области допустимых значений , то есть — является решением.

————————-

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Находим область допустимых значений

ОДЗ:

По описанной схеме подносим обе части в квадрат чтобы избавиться иррациональности

Переносим все слагаемые кроме корней в правую часть и упрощаем

Для раскрытия иррациональности снова выполняем возведения в квадрат и упрощение

Получили квадратное уравнение, корни которого находим с помощью дискриминанта

Второй корень не принадлежит области допустимых значений . Эту проверку следует выполнять всегда , иначе получите больше корней чем нужно, причем они не удовлетворяют исходное уравнение .

Итак решением будет значение x=4.

————————-

Пример 4. Решить уравнение

Решение:
Область допустимых значений для данного уравнения в простой способ найти не удастся , поэтому выполним решение после чего проверим подстановкой полученные корни.

Подносим обе части уравнения в квадрат

Данное выражение большинство из Вас упростило бы на x и подносило к квадрату. Но это было бы неправильно.
На x делить можно когда он принимает ненулевое значение. В данном случае x=0 будет решением уравнения , в чем легко убедится

После того, как мы это учли можно продолжать вычисления

Выполняем проверку

Получили два корня уравнения x=0, x=6.

————————-

Пример 5. Найти решение уравнения

Решение: Преподносить к квадрату обе стороны в подобных уравнениях не нужно. Для упрощения делаем замену

Уравнение превратится в следующее

Умножаем на y и переписываем в виде квадратного уравнения

Теорема Виета дает нам два одинаковые корни

Возвращаемся к замене и находим решение

Значение x=5/3 удовлетворяет уравнения.

————————-

Пример 6. Найти решение иррационального уравнения

Решение: Подносим к кубу обе стороны и упрощаем

Стоит отметить, что выражение в скобках соответствует правой стороне заданного уравнения. В подобных примерах такие ситуации встречаются часто, поэтому будьте внимательны при решении . Делаем подстановку

Приравниваем каждый из множителей к нулю и решаем

Проверку выполните самостоятельно. Она покажет что все три найденные значения превращают уравнения в тождество.

————————-

Пример 7. Найти решение иррационального уравнения

Решение: Такой тип уравнений придуман для невнимательных студентов. При спокойном анализе можно увидеть следующую закономерность

Стандартное возведения в квадрат в данном случае было бы длинным и сложным путем к отысканию решений. С скобок получим значение

Упрощаем исходное уравнение и подносим к квадрату

К полученному квадратного уравнения вычисляем дискриминант

Корни уравнения находим по формуле

Таким образом установлено, что подобные уравнения могут иметь до трех решений

Изучайте по возможности различные математические пакеты — они облегчают обучение . В частности, в Maple последнее задача решается несколькими строками

> restart;
> eq:=(x-3)*sqrt(x^2-5*x-2)=2*x-6;

> solve({eq},{x});

Просто и красиво . Однако и Maple может решить далеко не все иррациональные уравнения, некоторые корни не находит, в определенных случаях покоренных выражения нужно доопределить. Однако для упрощения расчетов достаточно проста в плане кода программа.

—————————-

На этом знакомство с иррациональными уравнениями завершается . На практике можно встретить иррациональные уравнения которые вообще говоря трудно решить приведенными методами, однако приближенные корни найти численно удается. Поэтому, если у Вас при исчислении возникнут трудности — обращайтесь, мы Вам поможем!

Источник: http://yukhym.com/ru/matematika/irratsionalnye-uravneniya-na-primerakh.html

Решение иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-02-20

Главная » СТАТЬИ » ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени.

Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.

Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

, ,

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение:. В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

— это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

(4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

Пример 2. Решим уравнение:

Перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Неравеству удовлетворяет только корень

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/02/20/reshenie-irratsionalnyih-uravneniy

Решение иррациональных уравнений. | kontromat.ru — Решение математических задач

Вперед

При решении иррациональных уравнений следует помнить несколько ограничений: 1) Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (т.е.больше или равным нуля). 2) Корень четной степени может принимать только неотрицательные значения.

Пример:

Дано уравнение:
Здесь можно ввести ограничения:
Также следует помнить, что.

Почти каждое уравнение можно решать двумя подходами: А) найти Область Допустимых Значений (ОДЗ) для переменной и проверить, входят ли в эту область полученные корни, Б) решать «в лоб», но для всех полученных корней сделать проверку, подставив их в исходное уравнение.

Но лучше перебдеть, чем недобдеть, поэтому в любом случае, всегда-всегда следует стараться сделать проверку. Иногда это затруднительно, особенно если корень получился похожим на нечто такое:, но пробовать стоит всегда.

Для того, чтобы показать необходимость проверки полученных корней, рассмотрим два равенства:

Первое из них верное, а второе – нет. Возведем обе части каждого из них в квадрат. Получим

Получено два ВЕРНЫХ равенства.

Из этого бесхитростного примера можно сделать вывод: при возведении в квадрат обеих частей уравнения нередко появляются лишние корни, т.к. при возведении в квадрат отрицательные величины становятся положительными.

Решение уравнений вида:.
Задача: решить уравнение
Метод решение: 1) Найдем Область Допустимых Значений переменной, решив систему неравенств

2) Возведем в квадрат обе части уравнения, тем самым избавимся от корня. 3) Решим полученное уравнение4) Проверим, входят ли полученные корни в Область Допустимых Значений. 5) Сделаем проверку корней, подставив их в исходное уравнение.
1)
ОДЗ этого уравнения:2)3)4)

Значениеявляется корнем уравнения, т.е. оно входит в ОДЗ, т.к.

Значениене является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ, т.к.
5) Проверим корень, подставим его в исходное равенство

Конечно, можно и в квадрат возвести, но…. вспомним один крайне полезный метод, о котором рассказывается в статье Решение алгебраических уравнений, содержащих модули.
Итак, преобразуем левую часть равенства:

Получили:
равенство верное, т.е.является корнем уравнения.
Ответ:

Задача: решить уравнение:1)

Эта система не имеет решения. Получается, что Область Допустимых Значений не содержит ни одного элемента, т.е. ни одно из значений переменной х не может быть корнем этого уравнения. На этом решение окончено. ОДЗ этого уравнения:

Ответ: корней нет.

Замечание: Основной метод решения иррациональных уравнений – возведение обеих частей равенства в степень, равную степени корня, дабы от оного избавиться. Но есть еще замены, преобразования, сокращения и т.д. и т.п.
Вперед

Источник: http://kontromat.ru/?page_id=4240

Как решать иррациональные уравнения. Примеры

В отличие от других типов уравнений, например, квадратных или систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, или точнее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгоритма. В каждом конкретном случае необходимо подобрать наиболее подходящий метод решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.

Возведение частей уравнения в одинаковую степень. Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство.

Следовательно оба числа являются решениями уравнения. Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.

Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат.

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями? Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя.

10 и x0 и x2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция.

Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении.

Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.

Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды.

Здесь приведены самые простые примеры решения уравнения с корнями, рассказано, как избавиться от радикалов в уравнении. Многократно возникал вопрос, как решить уравнение с корнем. Учитывая, что √(x) *√(x) =x, получается x = 49. Корень сразу готов в чистом виде. Далее следует разобрать более сложные примеры уравнения с корнями. К каждому уравнению стоит искать особый подход.

Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Следовательно оба числа являются решениями уравнения. Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных.

Источник: http://ostabutyrka.ru/kak-reshat-irracionalnye-uravneniya/