Как разложить квадратный трехчлен на множители

Раздожение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.

Теорема

(О разложении квадратного трёхчлена на множители)

1) Если квадратное уравнение

имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле

2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде

3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.

Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение

Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу

Получаем

Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:

Таким образом,

Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле

Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².

Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.

Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.

Например,

Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители в алгебре используется для сокращения дробей, при решении уравнений и неравенств, при построении графиков и т.д.

Источник: http://www.algebraclass.ru/razdozhenie-kvadratnogo-trexchlena-na-mnozhiteli/

разложение трехчлена на множители | математика-повторение

Квадратный трехчлен ax2+bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2×2-7x-15.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2×2-7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.

D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132>0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).

2×2-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2×2-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.

Ответ: 2×2-7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3×2+2x-8.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

3×2+2x-8=0.

a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D1.

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).

Мы представили трехчлен 3×2+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.

Ответ: 3×2+2x-8=(х+2)(3х-4).

Пример 3). 5×2-3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

5×2-3x-2=0.

a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).

5×2-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5×2-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5×2-3x-2=(х-1)(5х+2).

Пример 4). 6×2+x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

6×2+x-5=0.

a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).

Мы представили трехчлен 6×2+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.

Ответ: 6×2+x-5=(х+1)(6х-5).

Пример 5). x2-13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x2-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.

D=b2-4ac=132-4∙1∙12=169-48=121=112.

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x1+x2=13; x1∙x2=12. Очевидно, что x1=1; x2=12.

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).

x2-13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x2-13x+12=(х-1)(х-12).

Пример 6). x2-4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x2-4x-6=0.

a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D1.

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и запишем ответ:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».

Страница 1 из 11

Источник: http://www.mathematics-repetition.com/tag/razlozhenie-trehtchlena-na-mnozhiteli

Разложение квадратного трехчлена на множители с помощью теоремы Виета

Разложение квадратного трехчлена на множители может пригодится при решении неравенств из задачи С3 или задачи с параметром С5. Так же многие текстовые задачи B13 решатся значительно быстрее, если вы владеете теоремой Виета.

Эту теорему, конечно, можно рассматривать с позиций 8-го класса, в котором она впервые проходится. Но наша задача — хорошо подготовиться к ЕГЭ и научиться решать задания экзамена максимально эффективно. Поэтому в этом уроке рассмотрен подход немного отличный от школьного.

Формулу корней уравнения по теореме Виета знают (или хотя бы видели) многие:

$$x_1+x_2 = -frac{b}{a}, quad x_1 · x_2 = frac{c}{a},$$

где `a, b` и `c` — коэффициенты квадратного трехчлена `ax^2+bx+c`.

Чтобы научиться легко пользоваться теоремой, давайте поймем, откуда она берется (так будет реально легче запомнить).

Пусть перед нами есть уравнение `ax^2+ bx+ с = 0`. Для дальнейшего удобства разделим его на `a` получим `x^2+frac{b}{a} x + frac{c}{a} = 0`. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Важная мысль урока: любой квадратный многочлен, у которого есть корни, можно разложить на скобки. Предположим, что наш можно представить в виде `x^2+frac{b}{a} x + frac{c}{a} = (x + k)(x+l)`, где `k` и `l` — некоторые константы.

Посмотрим, как раскроются скобки:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Таким образом, `k+l = frac{b}{a}, kl = frac{c}{a}`.

Это немного отличается от классической трактовки теоремы Виета — в ней мы ищем корни уравнения. Я же предлагаю искать слагаемые для разложения на скобки — так не нужно помнить про минус из формулы (имеется в виду `x_1+x_2 = -frac{b}{a}`). Достаточно подобрать два таких числа, сумма которых равна среднему коэффициенту, а произведение — свободному члену.

Если нам нужно решение именно уравнения, то оно очевидно: корни `x=-k`или `x=-l` (так как в этих случаях одна из скобок занулится, значит, будет равно нулю и все выражение).

На примере покажу алгоритм, как раскладывать квадратный многочлен на скобки.

Пример первый. Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

Путь у нас есть квадртаный трехчлен `x^2+5x+4`.

Он приведенный (коэффициент у `x^2` равен единице). Корни у него есть. (Для верности можно прикинуть дискриминант и убедиться, что он больше нуля.)

Дальнейшие шаги (их нужно выучить, выполнив все тренировочные задания):

Выполнить следующую запись: $$x^2+5x+4=(x ldots)(x ldots).$$ Вместо точек оставьте свободное место, туда будем дописывать подходящие числа и знаки.
Рассмотреть все возможные варианты, как можно разложить число `4` на произведение двух чисел. Получим пары «кандидатов» на корни уравнения: `2, 2` и `1, 4`.
Прикинуть, из какой пары можно получить средний коэффициент. Очевидно, что это `1, 4`.
Записать $$x^2+5x+4=(x quad 4)(x quad 1)$$.
Следующий этап — расставить знаки перед вставленными числами.Как понять и навсегда запомнить, какие знаки должны быть перед числами в скобках? Попробуйте раскрыть их (скобки). Коэффициент перед `x` в первой степени будет `(± 4 ± 1)` (пока что знаков мы не знаем — нужно выбрать), и он должен равняться `5`. Очевидно, что здесь будут два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Выполните эту операцию несколько раз (привет, тренировочные задания!) и больше проблем с этим не будет никогда.

Если нужно решить уравнение `x^2+5x+4`, то теперь его решение не составит труда. Его корни: `-4, -1`.

Пример второй. Разложение на множители квадратного трехчлена с коэффициентами различных знаков

Пусть нам нужно решить уравнение `x^2-x-2=0`. Навскидку дискриминант положительный.

Читайте также: Как стать сильным

Идем по алгоритму.

$$x^2-x-2=(x ldots ) (x ldots).$$
Разложение двойки на целые множители есть только одно: `2 · 1`.
Пропускаем пункт — выбирать не из чего.
$$x^2-x-2=(x quad 2) (x quad 1).$$
Произведение наших чисел отрицательное (`-2` — свободный член), значит, одно из них будет отрицательное, а другое — положительное.
Поскольку их сумма равна `-1` (коэффициент при `x`), то отрицательным будет `2` (интуитивное объяснение — двойка большее из двух чисел, оно сильнее «перетянет» в отрицательную сторону). Получим $$x^2-x-2=(x — 2) (x + 1).$$

Третий пример. Разложение квадратного трехчлена на множители

Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x ldots ) (x ldots).$$
Разложение 84 на целые множители: `4· 21, 6· 14, 12· 7, 2·42`.
Поскольку нам нужно, чтобы разница (или сумма) чисел равнялась 5, то нам подойдет пара `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(xquad 12) (x quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x — 7).$$

Надеюсь, разложение этого квадратного трехчлена на скобки понятно.

Если нужно решение уравнения, то вот оно: `12, -7`.

Задания для тренировки

Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые легко решаются с помощью теоремы Виета. (Примеры взяты из журнала «Математика», 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.

Скачать сборник заданий по теореме Виета.

Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!

Источник: http://xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai/matematika/poleznye-fishki/razlozhenie-kvadratnogo-trekhchlena-na-mnozhiteli-s-pomoshchyu-teoremy-vieta

Персональный сайт — Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Персональный сайт - Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2x2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9×2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5x2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6×2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2×2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 (см.раздел «Квадратное уравнение»).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множителипо следующей формуле:a(x – x1)(x – x2).

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2×2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2×2 + 7x – 4 = 0.

Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

x1 = 1/2, x2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:

2×2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2×2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x1 и x2.

К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.

Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-257

Разложение квадратного трёхчлена на множители. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где.

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если – корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

, где – старший коэффициент, – корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение – квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если – корни квадратного трёхчлена, у которого, то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если – корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение.

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни. Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение. Для начала проверим знак дискриминанта

, а мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Способ 1

Поскольку – корни уравнения, то – это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Способ 2

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если – корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения, , т. е. в данном случае, а.

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку, то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере, т. е. заданное уравнение имеет корни.

Дальше разложим трёхчлен на множители, т. е. для решения нам необходимы корни , для этого нам необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е..

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

, необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е.,.

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида.

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

равна 0?

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Для того чтобы найти значения p, нам необходимо решить следующее уравнение

. Однако не забудьте, что записать необходимые значения p мы можем не просто после решения данного уравнения, поскольку они должны как минимум существовать, это значит, что должно выполняться неравенство .

Попробуем сразу подобрать первый корень уравнения по теореме Виета:

, отсюда видно, что, для того чтобы проверить правильность корней, проверяем их по теореме Виета: . Мы определили, что или, поэтому эти цифры становятся для нас подозрительными, т. е. теми, что могут удовлетворять нашему условию.

Проверим, что подходит для нас, поскольку, такая система может существовать, поэтому из второго уравнения получаем следующее:.

Таким же образом проверим:, где мы сразу видим, что не имеет корней, таким образом даём ответ на поставленный вопрос: При значении параметра, сумма корней квадратного уравнения равна 0.

Итак, мы вспомнили теорему Виета и рассмотрели тему «Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители» с её помощью, а также выяснили, что следующее применение теоремы Виета это вычисление всех выражений, которые зависят от суммы и произведения корней.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Разложите квадратные трёхчлены на множители: а); б); в).
Сократите дроби: а) ; б) ; в) ;
№534, №538, №543 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Источник: https://interneturok.ru/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/razlozhenie-kvadratnogo-tryohchlena-na-mnozhiteli

Разложение квадратного трехчлена на множители

Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)

Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х — 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х — 2 = -2

Если х = 2, то 5х^2 + 3х — 2 = 24

Если х = -1, то 5х^2 + 3х — 2 = 0

При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х — 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена.

Как получить корень уравнения

Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:

“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)”.

Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a<\p>

Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.

Выражение 5х^2 + 3х – 2.

1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0

2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу ( а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):

Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным:

Х1 = (-3 + √(3^2 — 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10 ) = 0,4

Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:

X2 = (-3 — √(3^2 — 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 — √(9- (-40)))/10 = (-3 — √(9+40))/10 = (-3 — √49)/10 = (-3 — 7)/10 = (-10)/(10 ) = -1

Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй:

1) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2 — 2 = 0

0 = 0

2) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

0 = 0

Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно.

3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы : ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x — 0,4) * (x- (-1))

5х^2 + 3x– 2 = 5(x — 0,4)(x + 1)

4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:

5(х — 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x — 0,4x — 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.

Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена

Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена — теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b), х1 * х2 = с. Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.

Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = — 2, c = 1.

Решаем: х1 + х2 = — (-2), х1 + х2 = 2

х1*х2 = 1.

Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1). Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же — это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Квадратный трехчлен и его корни: как их найти, 2 способа решения
Следующая тема: Квадратичная функция: ее график и свойства

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/razlozhenie-kvadratnogo-trekhchlena-na-mnozhiteli

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен — это трёхчлен вида:

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно решить квадратное уравнение:

Разложим квадратный трёхчлен на множители, применяя известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения.

Вынесем общий множитель за скобки:

Воспользуемся способом группировки:

Видим, что в разложении квадратного трёхчлена на множители нет случайных чисел, первый множитель является старшим коэффициентом квадратного трёхчлена, а далее записано произведение разностей переменной и одного из корней квадратного трёхчлена.

Запишем квадратный трёхчлен в общем виде:

Первым множителем является старший коэффициент, вторым — разность переменной и первого корня уравнения, третьим — разность переменной и второго корня уравнения.

Если квадратный трёхчлен имеет один корень, это значит что их два, но они одинаковые, тогда при разложении получится:

Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то говорят, что его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Выполним следующие задания:

1. Разложим на множители квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена, решив соответствующее квадратное уравнение:

Получим выражение:

Разложим на множители ещё один квадратный трёхчлен:

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

Получим:

2. Сократите дробь:

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Получим:

3. Составьте квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа 7 и -2.

Источник: https://videouroki.net/video/4-razlozhieniie-kvadratnogho-triokhchliena-na-mnozhitieli.html

Контент / АЛГЕБРА / Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители — Я знаю!

Контент / АЛГЕБРА / Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители - Я знаю!

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2x2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9×2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5x2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6×2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2×2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю – то есть решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.

Читайте также: Почему по утрам тошнит

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2×2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2×2 + 7x – 4 = 0.

x1 = 0,5, x2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:

2×2 + 7x – 4 = 2(x – 0,5) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 0,5:

2×2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Допустим, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.

Источник: http://test1.czl23.ru/plugins/content/content.php?content.54

Сборник задач по алгебре

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 54. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax2 + bx + c можно представить в виде произведения

(a1x + b1) (a2x + b2)

двух линейных относительно х множителей с действительными коэффициентами a1, b1, a2, b2 (a1 =/=0, a2 =/=0) ?

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax2 + bx + c представим в виде

ax2 + bx + c = (a1x + b1) (a2x + b2). (1)

Правая часть формулы (1) обращается в нуль при х = — b1/ a1 и х = — b2/ a2 (a1и a2 по условию не равны нулю). Но в таком случае числа — b1/ a1 и — b2/ a2 являются корнями уравнения

ax2 + bx + c = 0.

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b2 — 4ас квадратного трехчлена ax2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x1 и x2. Используя теорему Виета, получаем:

ax2 + bx + c = а (x2 + b/a х + c/a) = а [x2 — (x1 + x2) х + x1x2] =

= а [(x2— x1x ) — (x2x — x1x2)] = а [х (х — x1) — x2(х — x1) =

= a(х — x1)(х — x2).

Итак,

ax2 + bx + c = a(х — x1)(х — x2), (2)

где x1 и x2 — корни трехчлена ax2 + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

a(х — x1)(х — x2) = (aх — ax1)(х — x2).

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

ax2 + bx + c = (aх — ax1)(х — x2),

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни).

Пример 1. Разложить на линейные множители 6x2 — х —1.

Корни этого квадратного трехчлена равны x1 = 1/2 и x2 = — 1/3.

Поэтому по формуле (2)

6x2 — х —1 = 6 (х — 1/2)(х + 1/3) = (2х — 1) (3x + 1).

Пример 2. Разложить на линейные множители x2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 12 — 4•1•1 = — 3 < 0.

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Упражнения

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

403. 6x2 — 7х + 2. 405. x2 — х + 1.

404. 2x2 — 7ах + 6а2. 406. x2 — 3ах + 2а2 — аb— b2.

Сократить дроби (№ 407, 408):

Решить уравнения:

ОТВЕТЫ

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov54.htm

Урок Тема: Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители

Сохрани ссылку в одной из сетей:

9 класс. Алгебра. Урок 2.

Тема: Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Разложение трехчлена на множители”; выработка основных навыков.

Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные -прививать самостоятельность, развивать культуру виртуального общения.

Решение квадратных уравнений.

В общем виде квадратное уравнение выглядит так:

, где a, b, c- некоторые числа, причем а ≠ 0, х — переменная

В этом уравнении a = 3, b = 5, c =2

Чтобы решить уравнение, сначала находится величина, называемая дискриминантом:

После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.

1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня – X1 и X2.

В этом случае корни вычисляются по формулам:

Или иногда пишут так:

2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень Х, который вычисляется по формуле:

Правда, на самом деле это небольшое упрощение. Уравнение с дискриминантом равным нулю, имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.

3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней (и именно это нужно написать в ответе).

Решение через дискриминант — универсальный способ. Им можно решить любое квадратное уравнение.

Квадратный трехчлен.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0

Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2×2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

X2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9×2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5×2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6×2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2×2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –

то есть решить квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0

Разложение квадратного трехчлена на множители

Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители по следующей формуле:

a(x – x1)(x – x2).

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2×2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2×2 + 7x – 4 = 0.

D = 72 -4∙2∙(-4) =49 + 32 = 81

x1 = ; x2 =

x1 = 1/2, x2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:

2×2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2×2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

К примеру, трехчлен х2 – 6х + 9 имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.

Х2 — 6х +9 = (х- 3)2

Д/з.

Разложить на множители:

а) 3×2 – 8x + 2;

б) 6×2 – 5x + 1;

в) 3×2 + 5x – 2;

г) -5×2 + 6x – 1;

д) 9х2 – 6х + 1;

е) 8х2 – 4х + 1;

ж) 5х2 – 3х.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/140809.html