Как доказать параллельность прямых

Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости — урок. Геометрия, 7 класс

Две прямые лежащие на одной плоскости либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.

В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.

Две прямые (a) и (b) на плоскости, которые не пересекаются, называются и обозначаются.

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Один из признаков параллельности прямых в плоскости гласит:

1. Признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, то они параллельны.

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости с любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Получается противоречие — с одной точки (H) к прямой (c) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:

1) Вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны:

Сумма смежных углов:

2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:

Накрест лежащие углы

Соответственные углы

Односторонние углы

Эти углы помогут определить параллельность прямых (a) и (b). Итак, другой признак параллельности прямых в плоскости гласит:

2. Признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна (180°), то прямые параллельны.

Докажем этот признак.

С начала докажем, если прямые (a) и (b) пересекает прямая (c) и углы равны, то прямые (a) и (b) параллельны.

Например, если , то.

1) Отметим точки (C) и (D), в которых прямые (a) и (b) пересекает прямая (c). Через серединную точку (K) этого отрезка проведем перпендикуляр (AB) к прямой (a) .

2) (=) как вертикальные углы, (=)(=), (CK = KD) — значит (=) по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Очевидно, если прямоугольный, то и прямоугольный, и (AB) перпендикулярен и к прямой (b).

4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

5) В случае, когда имеем в виду, что вертикальные углы равны и доказываем как в пунктах 1) — 4).

6) В случае, , имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна (180°) и используем в доказательстве пункты 1) — 4).
3. Признак параллельных прямых действует и как .

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

— накрест лежащие углы равны,

— соответственные углы равны,

— сумма односторонних углов равна (180°).

О других свойствах параллельных прямых в следующем пункте теории.

Источник: http://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/parallelnye-priamye-9124/priznaki-parallelnosti-dvukh-priamykh-aksioma-parallelnykh-priamykh-9228/re-1e38c190-6fee-47d7-9380-d1e0d2858c37

Признаки параллельности прямых

Параллельность двух прямых можно доказать на основе теоремы, согласно которой, два проведенных перпендикуляра по отношению к одной прямой, будут параллельны. Существуют определенные признаки параллельности прямых – всего их три, и все их мы рассмотрим более конкретно.

Первый признак параллельности

Прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой, образуемые внутренние углы, лежащие накрест, будут равны.

Допустим, при пересечении прямых АВ и СD прямой линией ЕF, были образованы углы /1 и /2. Они равны, так как прямая линия ЕF проходит под одним уклоном по отношению к двум остальным прямым. В местах пересечения линий, ставим точки Ки L – у нас получился отрезок секущей ЕF. Находим его середину и ставим точку О (черт. 189).

На прямую АВ опускаем перпендикуляр из точки О. Назовем его ОМ. Продолжаем перпендикуляр до тех пор, пока он не пересечется с прямой СD.

В результате, первоначальная прямая АВ строго перпендикулярна МN, а это значит, что и СD_|_МN, но это утверждение требует доказательства. В результате проведения перпендикуляра и линии пересечения, у нас образовалось два треугольника.

Один из них – МОЕ, второй – NОК. Рассмотрим их более подробно. признаки параллельности прямых 7 класс

Данные треугольники равны, поскольку, в соответствии с условиями теоремы, /1 =/2, а в соответствии с построением треугольников, сторона ОK = стороне ОL. Угол МОL =/NОК, поскольку это вертикальные углы.

Из этого следует, что сторона и два угла, прилежащие к ней одного из треугольников соответственно равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого из треугольников.

Таким образом, треугольник МОL =треугольникуNОК, а значит, и угол LМО = углу КNО, но нам известно, что/LМО прямой, значит, и соответствующий ему, угол КNО тоже прямой. То есть, нам удалось доказать, что к прямой МN, как прямая АВ, так и прямая СD перпендикулярны.

То есть, АВ и СD по отношению друг к другу являются параллельными. Это нам и требовалось доказать. Рассмотрим остальные признаки параллельности прямых (7 класс), которые отличаются от первого признака по способу доказательства.

Второй признак параллельности

Согласно второму признаку параллельности прямых, нам необходимо доказать, что углы, полученные в процессе пересечения параллельных прямых АВ и СD прямой ЕF, будут равны. Таким образом, признаки параллельности двух прямых, как первый, так и второй, основывается на равности углов, получаемых при пересечении их третьей линией.

Допускаем, что /3 = /2, а угол 1 = /3, поскольку он вертикален ему. Таким образом, и /2 будет равен углу1, однако следует учитывать, что как угол 1, так и угол 2 являются внутренними, накрест лежащими углами.

Следовательно, нам остается применить свои знания, а именно то, что два отрезка будут параллельными, если при их пересечении третьей прямой образованные, накрест лежащие углы будут равными. Таким образом, мы выяснили, что АВ || СD.

Нам удалось доказать, что при условии параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, согласно соответствующей теореме, признак параллельности прямых очевиден.

Третий признак параллельности

Существует еще и третий признак параллельности, который доказывается посредством суммы односторонних внутренних углов. Такое доказательство признака параллельности прямых позволяет сделать вывод, что две прямые будут параллельны, если при пересечении их третье прямой, сумма полученных односторонних внутренних углов, будет равна 2d. См. рисунок 192.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/priznaki-parallelnosti-prjamyh

Признаки параллельности прямых . Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так:.

Рис. 1

Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).

Рис. 2

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и b рассекаются прямой с (Рис. 3).

Рис. 3

с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы называются:

— накрест лежащие углы:,;

— односторонние углы:, ∠3 и ∠6;

— соответственные углы:,,,.

– смежные углы.

– вертикальные углы.

Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и (Рис. 4).

Рис. 4

Докажем, что.

Доказательство:

Рис. 5

Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку, причем.

Имеем два треугольника и. Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию),(по построению), ОА = ОВ (по построению).

Из равенства треугольников следует, что. А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и лежат на одной прямой.

Также. Значит, прямая Н перпендикулярна к прямой b.

Итак, мы имеем, что,. А значит,, что и требовалось доказать.

Второй признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.

Рис. 6

Доказательство:

Значит,.

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что.

Третий признак параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая, (Рис. 7).

Рис. 7

Доказательство:

Значит, .

Применим первый признак параллельности прямых и получим, что.

Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.

Рассмотрим пример:

а, b, с – прямые; с – секущая,, (Рис. 8)

Рис. 8

Сведем к одному из признаков параллельности прямых.

Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.

На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

Список рекомендованной литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Рекомендованное домашнее задание

Нарисуйте произвольный треугольник АВС. Отметьте точку М на стороне АВ. Через точку М проведите прямые, параллельные двум другим сторонам.
Прямая АВ пересекает прямую CD в точке А, а прямую MN в точке В. . Параллельны ли прямые CD и MN?
В треугольнике АВС ВК – биссектриса. Точка К принадлежит АС. Точка М – середина стороны ВС. Доказать, что.

Источник: https://interneturok.ru/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/priznaki-parallelnosti-pryamyh

Параллельные прямые. Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов

Определение:

Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых обозначают следующим образом:

Определение:

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Например, отрезки АВ и CD параллельны, так как лежат на параллельных прямых p и q.

Параллельность отрезков обозначается:

А вот если некоторые отрезки KL и MN не параллельны:

то обозначается так:

Параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, луча и отрезка определяется аналогично. Например, отрезок PQ параллелен прямой n:

а отрезок ST параллелен лучу EF:

В геометрии нельзя «на глаз» определить, параллельны прямые или нет. Это может быть либо дано, либо доказано.

Известно, что две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны между собой.

Существует три признака параллельности прямых. Рассмотрим один из них:

Определение:

Прямая c называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает каждую из них в разных точках.

При пересечении прямых а и b секущей c образуется восемь углов.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия. ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 называют внутренними накрест лежащими. ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8 — внешними накрест лежащими.

∠1 и ∠5, ∠4 и ∠8, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7 называют соответственными. ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6 — внутренними односторонними. А ∠2 и ∠7, ∠1 и ∠8 — внешними односторонними.

Теорема:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямые а и b пересекает секущая АВ. И при этом накрест лежащие углы 1 и 2 равны.

Если ∠1=∠2=90 градусов, то прямая а перпендикулярна прямой АВ и прямая b перпендикулярна прямой АВ. А значит, прямая а параллельна прямой b.

А если ∠1=∠2, но они не являются прямыми, то из середины О отрезка АВ проведём отрезок ОС, который перпендикулярен прямой а. На прямой b отложим отрезок ВС1=АС и проведём отрезок ОС1.

Рассмотрим треугольники ОСА и ОС1В. У них АО=ВО, АС=ВС1, а ∠1=∠2. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Поэтому ∠3=∠4, а ∠5=∠6. Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка С1 лежит на продолжении луча ОС, то есть точки С, О, С1 лежат на одной прямой. Так как ∠5=90 градусов, то из равенства углов 5 и 6 следует, что и ∠6=90 градусов.

Получаем, что прямая СС1 перпендикулярна прямой а и перпендикулярна прямой b, а следовательно, прямая а параллельна прямой b. Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что если два отрезка KL и MN равны и параллельны, то отрезки КМ и LN, соединяющие их соответственные концы, параллельны.

Проведём отрезок КN. И рассмотрим треугольники KMN и KLN.

У них сторона КN — общая, KL=MN по условию задачи, ∠1 и ∠2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых KL и MN и секущей КN.

Получаем, что треугольники KMN и KLN равны по первому признаку. Значит, углы LNK и MKN равны как углы, лежащие против равных сторон в равных треугольниках. Эти углы являются также накрест лежащими при прямых КМ и LN и секущей КN. А следовательно, отрезки КМ и LN параллельны. Что и требовалось доказать.

Чтобы построить прямую проходящую через заданную точку О и параллельную некоторой прямой а, приложим к прямой чертёжный угольник, а к нему линейку таким образом:

Затем будем продвигать угольник вдоль линейки, пока точка О не окажется на стороне угольника, и проведём прямую b. Прямые а и b будут параллельными, так как у них соответственные углы равны.

В черчении параллельные прямые можно построить с помощью рейсшины.

А вот при выполнении столярных работ для построения параллельных прямых используется малка, которая представляет собой две деревянные планки, скрепленные шарниром.

Источник: https://videouroki.net/video/13-paralliel-nyie-priamyie-priznak-paralliel-nosti-priamykh-po-ravienstvu-nakriest-liezhashchikh-ughlov.html

Н.Н.Никитин Геометрия

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Теорема о том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны (§ 33), даёт признак параллельности двух прямых. Можно вывести более общие признаки параллельности двух прямых.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы.

Читайте также: Как печатать на грамотах

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, / МОL = / NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой.

Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Пусть / 1 и / 2—внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d.
Но / 3 + / 2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то эти две прямые параллельны.

Упражнение.

Доказать, что прямые параллельны: а) если внешние накрест лежащие углы равны (черт. 193);

б) если сумма внешних односторонних углов равняется 2d (черт. 194).

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0035.htm

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых»

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» § 1 Параллельные прямые и отрезки. Определение

Если взять несколько прямых по-разному расположенных, то можно заметить, что они либо имеют одну общую точку, т.е. пересекаются, либо не имеют ни одной общей точки, т.е. не пересекаются.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых обозначают b||c и говорят: «прямая b параллельна прямой c».

Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками.

Аналогично определяется параллельность прямой и отрезка, отрезка и луча, луча и прямой, двух лучей. На рисунке отрезки АВ и ОС параллельны (АВ||ОС), а отрезки АВ и РR не параллельны. Параллельны прямая а и отрезок АВ, отрезок ОС и луч DК, лучи ОN и DК.

Параллельные отрезки часто встречаются в жизни. Например, рельсы железнодорожного пути на отдельных участках дороги параллельны друг другу, линии в разлинованной тетради, косяки дверей.

§ 2 Признаки параллельности двух прямых

Давайте рассмотрим углы, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

На рисунке прямая c пересекает прямые а и b. При этом образовалось восемь углов.

Прямую с называют секущей, а образованные при этом углы попарно имеют специальные названия:

1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 – это соответственные углы;

4 и 6, 3 и 5 –это накрест лежащие углы;

4 и 5, 3 и 6 – это односторонние углы.

На рисунке углы в каждой из указанных пар не равны друг другу, и прямые а и b не параллельны. Но существуют три признака параллельности двух прямых, связанных с этими парами углов. Рассмотрим их.

Теорема 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые а и b и секущая АВ, накрест лежащие углы равны, т.е. угол 1 = углу 2.

Доказать: прямые а и b параллельны.

Доказательство: пусть накрест лежащие углы 1 и 2 равны по 90°, тогда прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ, а значит, параллельны.

Теперь рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОС к прямой а. На прямой b от точки В отложим отрезок ВD, равный отрезку АС. Соединим точки О и D. Рассмотрим треугольники ОСА и ОDВ. Они равны по двум сторонам АО равен ВО, АС равен ВD и углу между ними, угол 1 равен углу 2.

В равных треугольниках все соответствующие углы равны: угол 3 равен углу 4, угол 5 равен углу 6. Так как угол 3 равен углу 4, то точка D лежит на продолжении луча ОС, то есть точки С, О и D лежат на одной прямой. А так как угол 5 – прямой и равен углу 6, то угол 6 тоже прямой.

Итак, прямые а и b перпендикулярны к прямой СD, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема 2: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые а и b и секущая с, соответственные углы равны, т.е. угол 1 = углу 2.

Доказать: прямые а и b параллельны.

Доказательство: угол 2 равен углу 3, так как они вертикальные. Угол 1 равен углу 2 – это дано. Из этих двух равенств следует, что угол 1 равен углу 3. А углы 1 и 3 – накрест лежащие, значит, по уже доказанной нами теореме прямые а и b параллельны.

Что и требовалось доказать.

Теорема 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

Дано: прямые а и b и секущая с, сумма односторонних углов равна 180º, например, угол 1 + угол 4 = 180º.

Доказать: прямые а и b параллельны.

Доказательство: сумма углов 1 и 4 равна 180º. Так как углы 3 и 4 смежные, то сумма углов 3 и 4 тоже равна 180º. Из этих двух равенств следует, что углы накрест лежащие 1 и 3 равны, значит, прямые а и b параллельны.

Теорема доказана.

Опираясь на признаки параллельности прямых, можно строить параллельные прямые с помощью линейки и чертежного угольника. Сдвигая угольник, приложенный стороной прямого угла к неподвижной линейке, проводим вдоль стороны, лежащей против прямого угла, прямые. При таком построении прямые всегда параллельны, так как соответственные углы всегда равны.

Построение параллельных прямых можно выполнить с помощью других инструментов, например, рейсшины(линейки с перекладиной на одном конце) или при помощималки(двух планок, скрепленных шарниром).

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/priznaki-parallelnosti-dvukh-pryamykh

Свойства параллельных прямых

Сначала рассмотрим разницу между понятиями признак, свойство и аксиома.

Определение 1

Признаком называют некий факт, по которому можно определить истинность суждения об интересующем объекте.

Пример 1

Прямые являются параллельными, если их секущая образует равные накрест лежащие углы.

Определение 2

Свойство формулируется в том случае, когда есть уверенность в справедливости суждения.

Пример 2

При параллельных прямых их секущая образует равные накрест лежащие углы.

Определение 3

Аксиомой называют такое утверждение, которое не требует доказательства и принимается как истина без него.

Каждая наука имеет аксиомы, на которых строятся последующие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых

Иногда аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.

Теорема 1

Через точку, которая не лежит на заданной прямой, на плоскости можно провести лишь одну прямую, которая будет параллельной заданной.

Аксиома доказательства не требует.

Теорема 2

Свойство1. Свойство транзитивности параллельности прямых:

Когда одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей, то и вторая прямая будет ей параллельна.

Свойства требуют доказательств.

Доказательство:

Пусть имеются две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $с$ параллельна прямой $а$. Проверим, будет ли в таком случае прямая $с$ параллельна и прямой $b$.

Для доказательства будем пользоваться противоположным суждением:

Представим, что возможен такой вариант, при котором прямая $c$ параллельна одной из прямых, например, прямой $a$, а другую – прямую $b$ – пересекает в некоторой точке $K$.

Получаем противоречие согласно аксиоме параллельных прямых. Получается ситуация, при которой в одной точке пересекаются две прямые, к тому же параллельные одной и той же прямой $a$. Такая ситуация невозможна, следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаться не могут.

Таким образом, доказано, что если одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей прямой, то и вторая прямая параллельна третьей прямой.

Теорема 3

Свойство 2.

Если одна из двух параллельных прямых пересекается третьей, то ею будет пересекаться и вторая прямая.

Доказательство:

Пусть имеются две параллельные прямые $а$ и $b$. Также пусть имеется некоторая прямая $с$, которая пересекает одну из параллельных прямых, например, прямую $а$. Необходимо показать, что прямая $с$ пересекает и вторую прямую – прямую $b$.

Построим доказательство методом от противного.

Представим, что прямая $с$ не пересекает прямую $b$. Тогда через точку $К$ проходят две прямые $а$ и $с$, которые не пересекают прямую $b$, т. е. являются параллельными ей. Но такая ситуация противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, предположение было неверным и прямая $с$ пересечет прямую $b$.

Теорема доказана.

Свойства углов, которые образуют две параллельные прямые и секущая: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, * сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.

Пример 3

Даны две параллельные прямые и третья прямая, перпендикулярная одно из них. Доказать, что эта прямая перпендикулярна и другой из параллельных прямых.

Доказательство.

Пусть имеем прямые $а parallel b$ и $с perp а$.

Поскольку прямая $с$ пересекает прямую $а$, то согласно свойству параллельных прямых она будет пересекать и прямую $b$.

Секущая $с$, пересекая параллельные прямые $а$ и $b$, образует с ними равные внутренние накрест лежащие углы.

Т.к. $с perp а$, то углы будут по $90^{circ}$.

Следовательно, $с perp b$.

Доказательство завершено.

Источник: https://Author24.ru/spravochniki/matematika/parallelnye_pryamye/svoystva_parallelnyh_pryamyh/

Признаки параллельности двух прямых

В 7 классе мы говорили о том, что две прямые либо имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются, либо не имеют общих точек, т. е. не пересекаются.

Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Параллельность прямых AB и CD, a и b (отрезков MN и PQ) обозначается так: AB || CD, a || b (MN || PQ).

Рассмотрим прямые a и b, а также прямую c, пересекающую их в двух точках (рис. 10). Прямую c назовем секущей по отношению к прямым a и b. Углы 1 и 3, а также 2 и 4 назовем накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей c.
Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 11, а). Докажем, что прямые a и b параллельны.

Если предположить, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке C (рис. 11, б), то получится треугольник ABC, внешний угол которого (угол 1 на рисунке 11, б) равен углу этого треугольника, не смежному с ним. Но этого быть не может. Следовательно, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

При пересечении двух прямых секущей наряду с накрест лежащими углами образуются и другие углы (рис. 12). Назовем углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 соответственными, а углы 4 и 5, 3 и 6 односторонними. Из доказанной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 1

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть соответственные углы 1 и 2 равны (рис. 13): ∠1 = ∠2. Так как вертикальные углы 2 и 3 равны, то ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3. Следовательно, a || b.

Следствие 2

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то эти прямые параллельны.

Пусть сумма односторонних углов равна 180º (рис. 14): ∠1 + ∠2 = 180º.

Сумма смежных углов 3 и 2 также равна 180º:

∠3 + ∠2 = 180º.

Из этих двух равенств получаем ∠1 = ∠3, т. е. равны накрест лежащие углы 1 и 3.

Следовательно, a || b.

Источник: http://mthm.ru/geometry8/parallelism-evidence

Урок № 2

Параллельные прямые

Тема. Признаки параллельности двух прямых.

Презентация

Цель урока:

усвоение школьниками формулировок признаков параллельности прямых; умение применять признаки при решении типовых задач.

Задачи урока:

работать над пониманием школьниками доказательства признаков параллельности прямых и усвоением их формулировок; приступить к формированию умений применять признаки при решении задач IУУ; развивать наглядно — образное мышление.

Оборудование и дополнительные материалы:

компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация.

Структура урока:

1. Актуализация опорных знаний.

2. Изучение нового материала.

Физкультминутка.
Формирование умений.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.

Актуализация опорных знаний.

Для актуализации опорных знаний повторить определение параллельных прямых. На слайде сначала появляется чертеж параллельных прямых, выясняется с учащимися, что это за прямые и почему. После этого появляется определение параллельных прямых.

Повторить названия пар углов, образованных двумя прямыми и секущей. Сначала на чертеже определенным образом выделяются накрест лежащие углы. Выясняется с учащимися, что это за углы. Только после этого появляется запись, связанная с этими углами.

Аналогичная работа проводится с другими парами углов.

2. Изучение нового материала.

Для того чтобы подвести детей к формулировке первого признака параллельности прямых, нужно рассмотреть два случая пересечения: а) когда секущей пересекаются не параллельные прямые; б) когда секущей пересекаются параллельные прямые. Предлагается сравнить накрест лежащие углы в первом случае и во втором.

Высказывается предположение: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как доказательство данной теоремы сложно для восприятия детьми с ЗПР, то данное утверждение принимаем без доказательства. Для закрепления первого признака параллельности прямых устно решается задача.

Аналогичный подход к введению второго признака параллельности прямых. Так как доказательство этой теоремы достаточно простое, то оно может быть рассмотрено учащимися по учебнику самостоятельно. Для закрепления второго признака параллельности прямых устно решается задача.

Третий признак параллельности прямых формулируется и доказывается учителем, при этом в ходе доказательства нужно использовать уже имеющиеся знания школьников. Учащиеся оформляют запись доказательства теоремы в тетрадях. Для закрепления третьего признака параллельности прямых устно решается задача.

В конце изучения нового материала учащимся предлагается по готовым чертежам сформулировать все три признака параллельности прямых. Особо выделяется то, что необходимо для того, чтобы доказать параллельность двух прямых.

3. Физкультминутка.

4. Формирование умений.

Письменно решить задачу № 187 из учебника. Предварительно повторить:

а) свойство углов равнобедренного треугольника;

б) свойство вертикальных углов.

5. Подведение итогов урока.

Закончите предложение: «На уроке я узнал…», «Теперь я могу…».