Решение задач арифметической прогрессии
Основные понятия и определения.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность следующего вида:
где каждый член , начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и числа , так называемой разности арифметической прогрессии, а первый член прогрессии имеет конкретное значение.
Для наглядности можно привести следующие примеры арифметической прогрессии:
а) Это арифметическая прогрессия, у которой<\p>
б) Это арифметическая прогрессия, у которой<\p>
в) Это арифметическая прогрессия, у которой<\p>
г) Это арифметическая прогрессия, у которой<\p>
Можно заметить, что если разность , то арифметическая прогрессия возрастающая. А если , то арифметическая прогрессия убывающая.
Если отбросить все члены арифметической прогрессии, которые следуют за выбранным конкретным числом, то она станет конечной.
Для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии используется следующая формула:
Необходимо знать, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии):
Для вычисления суммы n членов арифметической прогрессии используется формула:
Иногда оказывается полезной при решении задач несколько видоизмененная формула вычисления суммы n членов арифметической прогрессии:
Пример 1: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности<\p>
Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой<\p>
Составим формулу n-ого члена:
Ответ:
Пример 2: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности<\p>
Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой<\p>
Составим формулу n-ого члена:
Ответ:
Пример 3: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности<\p>
Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой<\p>
Составим формулу n-ого члена:
Ответ:
Пример 4: Дана арифметическая прогрессия<\p>
а) Известно, что . Найти .
б) Известно, что . Найти .
в) Известно, что . Найти .
г) Известно, что . Найти .
Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .
Воспользуемся вышеприведенной формулой:
б) Так как известно, что .
Найдем , используя вышеприведенную формулу:
в) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .
Найдем , используя вышеприведенную формулу:
г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .
Найдем , используя вышеприведенную формулу:
Ответ: а) б) в) г)
Пример 5: Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии.
По условию задачи имеем: Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
Составим систему уравнений и решим ее:
Опираясь на полученные результаты, найдем :
Ответ:
Пример 6: Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?
Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем.
Опираясь на полученные выводы, найдем :
Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена арифметической прогрессии.
Ответ:
Пример 7: В арифметической прогрессииНайти номер первого положительного члена этой прогрессии.
По условию задачи имеем: Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
Составим систему уравнений и решим ее:
Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство:
Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству<\p>
Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов.
Ответ:
Пример 8: Дана конечная арифметическая прогрессия<\p>
а) Известно, что . Найти сумму .
б) Известно, что. Найти .
Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:
а) Так как известно, что<\p>
Воспользуемся вышеприведенной формулой:
б) Так как известно, что .
Найдем , используя вышеприведенную формулу:
Ответ: а) б)
Пример 9: Найти сумму всех четных четырехзначных натуральных чисел.
Для того, чтобы понять какую сумму необходимо искать, напишем заданную последовательность четных четырехзначных натуральных чисел:. Заметим, что данная последовательность является конечной арифметической прогрессией, у которой .
Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:
Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
Найдем сумму :
Ответ:
Пример 10: Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6.
Данная задача несколько сложнее рассмотренной в предыдущем примере. Если мы напишем последовательность всех чисел, которые не делятся на 6, то заметим, что данная последовательность не будет являться арифметической прогрессией Как же нам найти её сумму?
Несложно догадаться, что если из суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200 вычесть сумму всех натуральных чисел кратных 6 и также не превосходящих 200, то мы получим нужную нам сумму.
Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой .
Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:
Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
Найдем сумму :
Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 и кратных 6 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой .
Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:
Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:
Найдем сумму кратных 6 натуральных чисел :
Тогда сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6 вычислим по формуле:
Ответ:
Пример 11: При каких значениях числа , иобразуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению:
Решим это уравнение:
При этом значении заданные выражения принимают соответственно значения . Это арифметическая прогрессия, у которой разность<\p>
Ответ:
Источник: http://KtoReshit.ru/kak-reshit/ryadi/reshenie-zadach-arifmeticheskoi-progressii
Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии
Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).
Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая – смотри тут.
В любой последовательности каждый элемент должен иметь “адрес”, по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот “адрес” – это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент – первый, а – “живет” в сотой “квартире”.
Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер “квартиры”, тем “толще” жилец, а если убывающая, то наоборот (все это – непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены – одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, …).
Задать последовательность можно по-разному.
Часто встречается такой способ задания: “Дана последовательность 30; 28; 26;…” – по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь – первый член последовательности, и можно сразу “увидеть” разность такой прогрессии – это “расстояние между соседями”.
Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: . Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.
В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности, необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: .
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается
Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями “расстояние” будет , а “расстояние” между членами, которые стоят “через одного” – . Отсюда свойство прогрессии:
Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от “центра” на одинаковое количество номеров:
Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?
Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?
Сумму прогрессии можно найти по формулам:
Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.
1. Дана арифметическая прогрессия: -30; -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.
Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из (последующего члена) (предыдущий). (Или из – ):
.
Теперь воспользуемся формулой для суммы – берем вторую формулу:
Ответ: -30
2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.
Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из (последующего члена) (предыдущий). (Или из – ):
.
Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::
Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.
3. Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найти .
Так как между предыдущим и последующим членами (из условия) – 3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем :
Ответ: 38
4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – арифметическая прогрессия?
а) 1; 2; 3; 5;… б) 1; 2; 4; 8;… в) 1; 3; 5; 7;… г).
Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не “на”, а “в” – каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.
Ответ: в)
5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
а) 85 б) 73 в) 117 г) 254.
Конечно, задан первый член и можно определить разность – она равна 3 – но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3.
И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится.
Считаем: 8+5=13 – на три не делится; 7+3=10 – не делится; 1+1+7=9 – число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 – не подходит.
Ответ: в)
6. Арифметические прогрессиизаданы формулами n-ного члена:,,. Укажите те из них, у которых разность равна 3.
Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:
Первая прогрессия отвечает требованию.
Вторая:
Вторая также подойдет.
Третья:
– очевидно, что такая разность нам не подходит.
Ответ:
7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.
Источник: https://easy-physic.ru/arifmeticheskaya-progressiya-zadachi-na-progressii/
Решение арифметической прогрессии
| Результат вычислений |
Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы
— формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии
— формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии
Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.
И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.
Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией. Математик Муавр (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти.
Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти.
По легенде — он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.
Синтаксис
Для тех кто использует XMPP клиент: ap
Переменные — строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.
Переменные могут быть следующие
a1 — первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13
a[n] — n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67
d — разница арифметической прогресии
S[n] — сумма первых элементов арифметической прогресии.
Если результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн
Он Вам поможет рассчитать что
Примеры
Дана арифметическая прогрессия где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии
Запрос будет следующим
ap a1=5;d=3;n=100
и получаем следующее
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=3
Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350
Первый элемент прогрессии a1=5
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N
Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305
Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.
Запрос будет таким
ap S[10]=100;S[23]=305
Получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=0.5017
Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100
Первый элемент прогрессии a1=7.7425
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N
В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.
Запрос будет такой
ap a[2]=4;a[28]=56
и получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=2.0000
Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6
Первый элемент прогрессии a1=2.0000
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N
Нам надо было определить сумму ?
не вопрос
С учетом полученного ответа ответа запросим точный ответ на поставленную задачу
ap n=28;a1=2;d=2
и получаем ответ
Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам
Разность арифметической прогресии d=2
Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812
Первый элемент прогрессии a1=2
Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N
Уважаемый пользователь, задал вопрос — а как решать арифметическую прогрессию когда задана задача в таком виде:
Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.
К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение, когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.
Но не все так плохо. Мы готовы дать методику как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную x
Получили следующие исходные данные
S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x
Запишем формулы для каждой из заданных значений
Преобразуем и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.
получаем три уравнения
Пишем этому боту запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0
и получаем ответ
a1=-0.176470588
d=0.176470588
x=0.529411765
Откуда мы видим что параметры арифметической прогрессии равны и
Проверка подтверждает наши вычисления
И еще один пример с неизвестными переменными, которые бот не умеет решать. Пусть дана арифметическая прогрессия, что сумма 11 и 7 элементов прогресии на 50 меньше чем сумма первых девяносто элементов. А первый элемент равен 2
Запишем, что же нам известно
S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50
Преобразуем и получаем
Так как первый элемент равен двум то наши уравнения превращаются в очень простую систему
Откуда
Источник: http://www.abakbot.ru/online-16/94-ap
Калькулятор арифметической прогрессии
Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.
Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:
- 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,
- 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
- 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.
Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6
А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.
An = 2n.
Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.
An = 2n − 1
Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.
Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:
An = n^2 + 2
Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 1000^2 + 2 = 1000002.
Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.
Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.
Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:
- An = 2n
- Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)
Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Замечания
Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.
Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.
Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.
Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…
Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…
Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:
An = a1 + (n − 1)d
Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.
Sn = [(a1 + an) / 2] × n
Примеры задач
Пример 1
В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 3
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 3
Получаем:
- Арифметическая прогрессия: 61
- Сумма членов прогрессии: 650
- Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61
Проверяем самостоятельно по формулам с теории:
- a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61
Пример 2
Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…
В калькуляторе задаем:
- Первое число: 5
- Последнее число: 20
- Разница (шаг): 2
Результаты рассчета:
- Арифметическая прогрессия: 43
- Сумма членов прогрессии: 480
- Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
Проверяем:
- Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
- S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.
Источник: https://bbf.ru/calculators/67/
Урок по математике на тему «Арифметическая прогрессия»
Тема урока: «Арифметическая прогрессия»
Цель урока:
Формирование навыка решения задач по теме «Арифметической прогрессия. Формула n-ого члена».
Задачи урока:
Образовательные:
-
Систематизировать знания по теме « Арифметическая прогрессия»;
-
Формировать навык решения задач с применением формулы п-го члена;
-
Решать задачи по данной теме, включенные в ГИА;
-
Формировать у учащихся вычислительные навыки.
Развивающие:
-
Развить у учащихся коммуникативные и учебные навыки;
-
Развить творческие способности и интерес к учебе;
-
Развить логическое мышление, навыки самостоятельной работы, осуществлять самопроверку и взаимопроверку;
-
Развивать логическое мышление, сознательного восприятия учебного материала.
Воспитательные:
-
повышать интерес к предмету.
-
Активизировать познавательную деятельность учащихся.
-
Развивать самостоятельность, внимание, математическую речь.
Место урока в системе: данный урок третий в теме «Арифметическая прогрессия»
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки (индивидуальные задания), смайлики.
Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая, в парах.
Этапы урока:
1. Организация начала урока (Информация о домашнем задании, инструктаж о его выполнении)
2.Актуализация знаний, подготовка к ГИА.
3. Самостоятельная работа (проверка экзаменационного материала, задание №1);
4.Устная работа (усвоению нового учебного материала), индивидуальные задания.
5.Историческая справка
6.Фронтальная работа. Индивидуальная работа.
7. Закрепление знаний.
8.Рефлексия.
9. Работа в парах (выполнить самопроверку)
10. Подведение итогов урока.
Ход урока
Организационный момент: презентация
Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку, фиксирует отсутствующих.
(1 слайд) Дается учащимся информация о домашнем задании, инструктаж о его выполнении: параграф, задачи
| Уровень «3» | Уровень «4» | Уровень «5» |
| №16.16(г)№16.17(г) | №16.16(г)№16.17(г)№16.22(б) | №16.16(г)№16.17(г)№16.22(б)№16.27(г) |
2. Актуализации знаний, подготовка к работе:
Презентация по теме «Арифметическая прогрессия»
(слайд 2) Откройте тетради, запишите число, классная работа.
Учитель: Откроем наш урок словами: «Прогрессия- движение вперед». Впереди нас ждет ГИА.
(слайд 3)Решить уравнение: (4 ученика выполняют задания, объясняют свое решение, другие ученики оценивают и задают вопросы)
-
2х -7= х- 10
-
2 +3(х- 3)=2х- 6
-
(3х+3)(6-2х)=0
-
х3- 3х2 — х + 3 = 0
Одновременно выдается индивидуальное задание:
Карточка № 1 (три ученика 1ряд)
1). Выписать первые пять членов последовательности (сn), если
с1 = 3, сn+1 = сn + 4.
2). Последовательность (аn) задана формулой аn = n2 – 2n + 3. Является ли членом последовательности число 3?
Карточка № 2 (три ученика 2 ряд)
1). Последовательность (сn) задана формулой n – ого члена сn = n2 – 2n.
Найти с7, с10, с100, сn+1.
2).Выписать первые пять членов последовательности (bn), если
b1 = 4, bn+1 = bn – 3.
Карточка № 3 ( три ученика 3ряд)
1). Выписать первые пять членов последовательности (сn), если
с1 = -2, сn+1 = 3сn — 5.
2). Последовательность (аn) задана формулой аn = n2 +3n -2. Является ли членом последовательности число 16?
(слайд 4) Самостоятельная работа (по вариантам, текст работы на слайде, время 5 мин).
(слайд5)Устная работа (усвоению нового учебного материала), индивидуальные задания.
Задание: Если среди заданных последовательностей – арифметическая прогрессия?
А) 2;4;6;8;10;12…Б)1;3;9;27;81….В)35;33;31;29;27….Г)5,5,5,5,5…
Вопрос: Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
Ответ ученика: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
(слайд 6) вопрос: Можно ли создать арифметическую прогрессию, если известен ее первый член и разность? Приведите примеры.
Ответ ученика: можно. Пример: b1 = 7, d = 3, то 7, 10, 13,16,19…
(слайд 7) вопрос: Назовите формула n-го члена арифметической прогрессии
О
твет ученика:
-
Какой буквой обозначают разность арифметической прогрессии?
-
Что показывает разность арифметической прогрессии?
-
Как найти разность арифметической прогрессии?
-
Какая прогрессия называется возрастающей?
-
Какая прогрессия называется убывающей?
-
К каким числам принадлежит порядковый номер ?
(Слайд 8)Какая из следующих последовательностей является возрастающей арифметической прогрессией, убывающей? Дайте можно назвать арифметическую последовательность под буквой Г? Назовите первый член, разность прогрессии.
-
А) 2;4;6;8;10;12….. ….В)35;33;31;29;27…. Г )5,5,5,5,5…
Индивидуальное задание (на отдельной доске выполняет «сильный» ученик)
Дано: а1=2,7; d = — 0,3; an= — 2,7. Найти n
Решение:
Составим формулу n – ого члена
an = 2,7 + (n-1)(-0,3) = 2,7+0,3 – 0,3n = 3 – 0,3n
3 – 0,3n = — 2,7
-0,3n = — 5,7
n = 19 Ответ: n= 19
(слайд 9) Историческая справка:
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. Он образован от латинского слова
progressio , что означает “движение вперед”.
Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов.
В египетских папирусах встречаются задачи на прогрессию и показаны пути их решать.
(слайд 10)(Задание проверяется учениками класса, задаются вопросы к отвечающему и выставляется с обоснованием оценка)
(Слайд11) Фронтальная работа.
Какое из следующих чисел является членом арифметической прогрессии
6; 12; 18; 24; … ?
А.303 Б.109 В.106 Г.96
(слайд 12-13) Фигура составлена из квадратов, как показано на рисунке. Сколько квадратов в 15-ой строке ?
(слайд 14) Из арифметических прогрессий, заданных формулой
n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a25 < 0.
(слайд 15) Самостоятельная работа (текст работы на слайде, выполняется по вариантам, 5 мин)
(слайд 17) ответы- меняются работами, выполняется взаимопроверка и выставляется оценка.
(слайд 16) Критерии оценок:
«5»- решены 3 задания верно,
«4»- решено верно 2 задания,
«3»- верно решено 1 задание,
«2» — не справился с работой.
(слайд 18) Закрепление знаний
ГИА задание №21 Найдите неизвестные члены арифметической прогрессии: …12 ; аn-1; аn ; аn+1; 26;…
(слайд 19- 20) Рефлексия Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд, К прогрессу в жизни приведут.
(слайд 21) Дополнительное задание : ГИА №21: Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.
(Слайд 22) Подведение итогов: выставление оценок за урок. Спасибо за урок.
(на парте лежат смайлики, нужно выбрать смайлик соответствующий твоему настроению)
Используемая литература.
-
Программа
-
А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Алгебра. Учебник. 9 класс.
М. Мнемозина, 2005
-
А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Алгебра.Задачник. 9 класс.
М. Мнемозина, 2005
4. [Электронный ресурс]
http://festival.1september.ru/
http://www.apm.pt/pic/_
http://upload.wikimedia.org/wikipedia
Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-po-matematike-na-temu-arifmeticheskaya-progressiya-5413.html
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это некая последовательность чисел, каждый следующий член которой отличается от предыдущего на одно и то же число d, называемое шаг прогрессии или разность прогрессии. Калькулятор арифметической прогрессии, используя следующие формулы, может найти первый член арифметической прогрессии , n-ный член прогрессии, найти сумму первых членов или разность.
Арифметическая прогрессия как последовательность, составленная из действительных чисел, связывает их между собой заданной закономерностью ряда. Как правило, числовой ряд начинается с того, что дан первый член арифметической прогрессии, как отправная точка.
Далее каждый следующий член прогрессии получается путем прибавления к предыдущему одного и того же параметра, называемого разность арифметической прогрессии или шаг арифметической прогрессии.
Если разность является положительным числом, то вся последовательность будет стремиться к плюс бесконечности, так как значения членов будут увеличиваться по мере возрастания их порядковых номеров.
Если разность арифметической прогрессии представлена отрицательным числом, каждый следующий член будет меньше предыдущего и вся последовательность будет стремиться к минус бесконечности.
В некоторых случаях предел арифметической прогрессии будет конкретным числом.
Это происходит, если шаг прогрессии (разность) равен нулю, тогда первый член арифметической прогрессии совпадает со всеми остальными.
Формулы арифметической прогрессии включают в себя следующие равенства:
• формула первого члена арифметической прогрессии;
• формула n-ного члена прогрессии;
• формула разности арифметической прогрессии;
• формула суммы первых членов арифметической прогрессии или суммы определенной выборки членов.
По всем формулам онлайн калькулятор рассчитывает необходимые значения, используя условия, по которым дана арифметическая прогрессия. Числа, выстроенные в симметричной последовательности, дают возможность вычислить любой член или сумму прогрессии, опираясь всего на два или три параметра в зависимости от уровня сложности задания.
Источник: http://allcalc.ru/node/1000
Тема 5. Числовые последовательности и прогрессии — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА
1. Арифметическая прогрессия a1, a2, …, an, … определяется первым членом a1 и разностью d, т. е. может быть записана так:
a1, a1+d, …, a1+(n-1)d, …
Важно помнить следующие формулы:
Формула n-го члена прогрессии: an=a1+(n-1)d;
Сумма первых n членов прогрессии:
Свойство членов прогрессии: , где k = 2, 3, …, n,…
(каждый член прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего).
2. Геометрическая прогрессия b1, b2, …, bn, … определяется первым членом b1 и знаменателем q, где q ≠ 0 и q ≠ 1 т.е.:
b1, b1q, …, b1qn-1, …
Основные формулы:
Формула n-го члена прогрессии: bn=b1qn-1;
Сумма первых n членов прогрессии: , где q ≠ 1;
Свойство членов прогрессии: bk2=bk-1bk+1, где k = 2, 3, …, n,…
(каждый член прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое или среднее пропорциональное предыдущего и последующего).
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q|b1 в два раза, а b6 =64. Найти b1 .
10) Найдите сумму первых пяти членов последовательности, общий член которой выражается формулой .
11) Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по одиннадцатый включительно равна 27. Найти номер члена прогрессии равного 3.
12) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма пяти её первых членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.
13) Найдите сумму всех чётных натуральных трёхзначных чисел, делящихся на 3.
14) Вычислить сумму: .
15) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 10,3; 8,5; ….
16) В арифметической прогрессии a10=-23 . Найти a3+a17.
17) В арифметической прогрессии a5+a9=-20. Найти a7.
18) Произведение девяти первых членов геометрической прогрессии равно . Какой член геометрической прогрессии можно найти на основании этой информации? Чему он равен? 19) Решите уравнение . 20) Найдите сумму.
21) Три различных числа a1, a2, a3 в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а числа 2a3-a1, a2+a3-a1, a1 в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.
1) 84; 2) – 7; – 5,2; – 3,4; – 1,6; 0,2; 3) – 2; 4) 3; 5) 1; 6) 1; 7) 56; 5-4; 8) 19; 9) 2; 10) 31/32; 11) 7; 12) 16; 13) 82350; 14) -16/3; 15) 34,8; 16) – 46; 17) – 10; 18) n=5; ; 19) 4/3; 4; 20) ; 21) 3.
Источник: https://sites.google.com/a/ssga.ru/ssga4school/matematika/tema-5
Методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме: Арифметическая прогрессия
Тема
Арифметическая прогрессия
ЦЕЛЬ:
- научить узнавать арифметическую прогрессию, используя её определение и признак;
- научить решать задачи, используя определение, признак, формулу общего члена прогрессии.
ЗАДАЧИ УРОКА:
дать определение арифметической прогрессии, доказать признак арифметической прогрессии и научить применять их в решении задач.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:
актуализация знаний учащихся, самостоятельная работа, индивидуальная работа, создание проблемной ситуации.
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ:
ИКТ, проблемное обучение, дифференцированное обучение, здоровьесберегающие технологии.
ПЛАН УРОКА
| Этапы занятия. | Время реализации. | |
| 1 | Организационный момент. | 2 минуты |
| 2 | Повторение пройденного | 5минут |
| 3 | Изучение нового материала | 15 минут |
| 4 | Физкультминутка | 3 минуты |
| 5 | Выполнение заданий по теме | 15минут |
| 6 | Домашнее задание | 2минуты |
| 7 | Подведение итогов | 3минуты |
ХОД УРОКА:
- На прошлом уроке мы познакомились с понятием «Последовательность».
Сегодня продолжим изучать числовые последовательности, дадим определение некоторым из них, познакомимся с их свойствами и признаками.
- Ответьте на вопросы: Что такое последовательность?
Какие последовательности бывают?
Какими способами можно задать последовательность?
Что такое числовая последовательность?
Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Какая формула называется рекуррентной?
- Даны числовые последовательности:
- 1, 2, 3, 4, 5, …
- 2, 5, 8, 11, 14,…
- 8, 6, 4, 2, 0, — 2, …
- 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
Найдите закономерность каждой последовательности и назовите следующие три члена каждой из них.
- an = a n -1 +1
- an = a n -1 + 3
- an = a n -1 + (-2)
- an = a n -1 + 0,5
Назовите рекуррентную формулу для каждой последовательности.
Слайд 1
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия это числовая последовательность, поэтому может быть возрастающей, убывающей, постоянной. Приведите примеры таких последовательностей, назовите разность каждой прогрессии, сделайте вывод.
Выведем формулу общего члена арифметической прогрессии.
На доске: пусть а1-первый член прогрессии, d-её разность, тогда
а2=а1+d
а3=(а1+d)+d=a1+2d
а4=(а1+2d)+d=a1+3d
a5=(a1+3d)+d=a1+4d
an=a1+d(n-1)- формула п-ого члена арифметической прогрессии.
Решите задачу: В арифметической прогрессии первый член равен 5, а разность равна 4.
Найдите 22 член этой прогрессии.
Ученик решает на доске: аn=a1+d(n-1)
A22=a1+21d=5+21*4=89
Физкультминутка.
Встали.
Руки на поясе. Наклоны влево, вправо, (2 раза);
Наклоны вперёд, назад (2 раза);
Подняли руки вверх, глубокий вдох, опустили руки вниз, выдох. (2 раза)
Встряхнули кисти рук. Спасибо.
Сели. Продолжаем урок.
Решаем задачи на применение формулы общего члена арифметической прогрессии.
Учащимся предлагаются следующие задачи:
- В арифметической прогрессии первый член равен -2, d=3, an=118.
Найти n.
- В арифметической прогрессии первый член равен 7, пятнадцатый член равен –35. Найти разность.
- Известно, что в арифметической прогрессии d=-2, a39=83. Найти первый член прогрессии.
Учащиеся разделены на группы. Задание даётся на 5 минут. Далее первые 3 ученика, решившие задачи, решают их на доске. Решение дублируется на слайдах.
Рассмотрим характеристические свойства арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии
an-d=a(n-1)
an+d=a(n+1)
Cложим почленно эти два равенства, получим: 2аn=a(n+1)+a(n-1)
An=(a(n+1)+a(n-1))/2
Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого и последнего равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
ТЕОРЕМА:
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого ( и последнего- в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).
Решите задачу:
При каких значениях Х числа 3х+2, 5х-4 и 11х+12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Решение: согласно теореме имеем
5х-4=((3х+2)+(11х+12)):2
10х-8=3х+2+11х+12
4х=-22 х=-5,5
Домашнее задание.
И так, мы познакомились с последовательностью, которую называют арифметической прогрессией.
Дайте определение арифметической прогрессии.
Что такое разность прогрессии?
Назовите формулу общего члена арифметической прогрессии.
Назовите характеристическое свойство прогрессии.
Учитель объявляет оценки за урок.
Всем спасибо за урок! Желаю успехов!
До свидания!
Источник: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/01/15/arifmeticheskaya-progressiya
Персональный сайт — Арифметическая прогрессия
Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)
Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
Понятие арифметической прогрессии.
|
Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом. |
Пример:
Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:
3+7=10
10+7=17
17+7=24
24+7=31
Формула арифметической прогрессии.
|
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой: an = kn + b, где k и b – некоторые числа. И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией. |
Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.
Разность арифметической прогрессии.
|
Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d. |
Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
|
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. |
В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:
3 + 17 ——— = 10.
2
Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.
Как найти определенный член арифметической прогрессии.
|
Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу: an = a1 + d(n – 1) |
Пример:
Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.
Дано:
b1 = 3
d = 4
n = 45———
b45 — ?
Решение.
Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):
b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.
Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.
|
Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти (a1 + an) n Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой: 2a1 + d(n – 1) |
Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.
Дано:
a1 = 1n = 100
an = 100
————
S100 — ?
Решение:
(1 + 100) · 100 101 · 100
S100 = ——————— = ————— = 5050
2 2
Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.
Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.
Дано:
a1 = 5 d = 3 ————
S20 — ?
Решение:
1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.
2) Теперь уже легко решить нашу задачу.
По формуле 1:
(5 + 62) · 20
S20 = ——————— = 670
2
По формуле 2:
2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S20 = ————————— · 20 = 670
2
Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.
Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-234
Загрузка...
