Как найти сторону треугольника, зная сторону и угол

Два угла и сторона треугольника C

• Для того чтобы рассчитать в треугольнике все возможные показатели, необходимо, как минимум, иметь данные о его сторонах. Зная два угла и сторону а, можно найти остальные две стороны и угол, построив высоту в таком треугольнике. (рис. 76.1) Высота разделит произвольный треугольник на два прямоугольных, в которых катетами будет высота и часть известной стороны x или y, а гипотенузами – неизвестные стороны a и b. Кроме того, что мы задаем известную сторону a, как сумму двух катетов x и y, тригонометрия полученных треугольников, определяет высоту с одной стороны как произведение y на тангенс β, а с другой стороны как произведение x на тангенс γ. Приравнивая эти выражения друг к другу, можно составить систему уравнений, из которых могут быть найдены части x и y, а затем неизвестные стороны первоначального треугольника a и b. {█(x+y=a@y tan⁡β=x tan⁡γ )┤{█(x=a-y@y(tan⁡β+tan⁡γ )=a tan⁡γ )┤{█(x=a-y@y=(a tan⁡γ)/(tan⁡β+tan⁡γ ))┤ b=x/cos⁡γ , c=y/cos⁡β h_a=y tan⁡βМожно также найти сразу две другие высоты треугольника, опущенные на стороны b и c соответственно. (рис. 76.2) h_b=a sin⁡β h_c=a sin⁡γТретий угол можно найти, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. α=180°-β-γТеперь, зная все стороны, углы и высоты, можно найти все остальные параметры треугольника. Вычислить периметр можно, сложив все три стороны, а площадь – умножив половину любой стороны на опущенную на нее высоту. P=a+b+c S=(ah_a)/2Если провести в треугольнике медианы, то каждая из них разделит сторону, на которую она опущена, на две равные части. Для того, чтобы вычислить медиану в треугольнике, необходимо знать все три стороны. Формула медианы заключается в том, чтобы сложить удвоенные квадраты двух нетронутых сторон, отнять квадрат стороны, на которую опущена медиана, извлечь из этого выражения квадратный корень и разделить его на два. (рис. 75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2 m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2Чтобы найти биссектрисы треугольника, которые делят пополам его углы, также необходимо знать все три стороны треугольника. Формула биссектрисы выглядит немного сложнее, чем формула медианы, но достаточно проста в расчетах. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)Средняя линия треугольника – это прямая, проведенная параллельно одной из его сторон. Ее особенность заключается в том, что она делит стороны на которые опирается на две равные части, и сама равна половине стороны, ей параллельной. (рис.75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2Также в произвольном треугольнике через стороны можно найти радиус окружности, которую можно вписать в треугольник или описать около него. Радиус вписанной окружности будет начинаться в точке пересечения биссектрис треугольника и опускаться на любую из сторон под прямым углом. Радиус описанной окружности начинается в точке пересечения медиатрисс треугольника и заканчивается в любой из его вершин. (рис. 75.5, 75.6) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

Источник: http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/two_angles_and_side

Как найти сторону прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой и равняется 90 градусов, а сумма двух остальных углов равняется также 90 градусов.

У прямоугольного треугольника есть три стороны: две из которых находятся перпендикулярно друг другу — они называются катетами, и третья сторона, которая располагается напротив прямого угла, объединяет две вершины его катетов — она называется гипотенузой.

Чтобы узнать длину каждой из сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами, в зависимости от того, какие величины треугольника известны.

1

Способы вычисления сторон прямоугольного треугольника

• Можно использовать тригонометрическую функцию. Такой способ подходит в том лишь случае, если известна величина одной из сторон прямоугольного треугольника и величина одного из острых углов. Так, чтобы узнать сторону одного из катетов в таком случае, необходимо величину гипотенузы умножить на косинус острого угла, который образуется между гипотенузой и катетом, величину которого надо узнать:  a= c ·cos(B). Или же величину гипотенузы нужно умножить на синус острого угла, который образуется между гипотенузой и вторым катетом прямоугольного треугольника: a= c ·sin(A). Если же в задании неизвестна величина гипотенузы, то, для того, чтобы ее узнать, необходимо величину одного катета поделить на синус острого угла, который образуется между гипотенузой и вторым катетом прямоугольного треугольника: c= а/sin(A); или же величину одного катета поделить на косинус острого угла, который образуется между гипотенузой и этим же самым катетом: с= а/cos(B)..
• Можно воспользоваться теоремой Пифагора, которая подойдет лишь в том случае, если неизвестна лишь одна из сторон, а величины двух других сторон треугольника предоставлены в условии задачи. Так, чтобы узнать величину одного из катетов, необходимо вычислить корень квадратный разницы величин гипотенузы, возведенной в квадрат, и второго катета, также возведенного в квадрат:  .
• Если же неизвестна величина гипотенузы, то, чтобы ее узнать, необходимо вычислить корень квадратный суммы величин двух катетов прямоугольного треугольника, возведенных каждый отдельно в квадрат : .

Таким образом, вычислить любую из сторон прямоугольного треугольника можно лишь в том случае, если есть хотя бы две величины, относящиеся к этом треугольнику:

• это может быть величины двух сторон треугольника;
• это может быть величина одной из сторон и один из острых углов прямоугольного треугольника.

Источник: http://SovetClub.ru/kak-najti-storonu-pryamougolnogo-treugolnika

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

• Находим квадрат длины катета a;
• Находим квадрат катета b;
• Складываем их между собой;
• Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения.

Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе.

Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

Источник: http://podskajem.com/kak-najjti-storonu-treugolnika-esli-dve-drugie-izvestny/

Как найти сторону треугольника?

Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их — а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.

Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.

Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок

Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.

Исходя из формулы площади, найдем высоту

S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см

Теперь находим сторону b по синусу угла

sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.

Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного — найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.

Можно по формуле Пифагора

откуда х = квадратный корень из (8*8 — 4*4), что равно 4*(кв.к3)

и находим последнюю сторону нашего треугольника

а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4

здесь стоит обратить внимание, что

18*18 = с*с

4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b

2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать

а = кв.к из с*с — 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)

Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.

Источник: http://www.bolshoyvopros.ru/questions/1531807-kak-najti-storonu-treugolnika.html

Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику :

Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.

При помощи сторон и углов

Итак, первый способ нахождения сторон треугольника — это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень.

Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет «альфа», напротив b -«бета», напротив c — «гамма».

Для того чтобы найти сторону, скажем, a, необходимо вычислить квадратный корень из суммы квадрата b, c и вычесть из нее двойное произведение косинуса угла a на стороны b и c. То есть, для того, чтобы облегчить вид формулы и пояснить, как найти сторону треугольника произвольной формы, можем написать следующее: a=(b*b+c*c-2*b*c*cos»альфа»)^(1/2).

Будьте внимательны, ведь если угол, расположенный напротив искомой стороны, будет тупым, то косинус примет отрицательное значение. Еще одна формула нахождения сторон треугольника — по двум углам и сторонам. Сразу приведем формулу-равенство, так как для понимания наглядный вид проще, чем длинная роспись. По-прежнему нам нужно найти сторону a.

Тогда, опираясь на обозначения, получим следующее: a=(b*sin»альфа»)/sin»бета»=(b*sin»альфа»)/sin(«альфа»+»гамма»)=(b*sin(«бета»+»гамма»))/sin»бета». Вот таким мудреным способом можно найти неизвестную сторону произвольного треугольника.

Равнобедренный треугольник

Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание — b. Стало быть, раз у треугольника есть два «бедра» одной величины, то и углы на «фундаменте» тоже будут одинаковыми. Их назовем «альфа».

Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину — угол, образованный между равными «бедрами».
Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего «бета». Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно.

Первые две — это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах.Итак, выглядят наши вычисления следующим образом: b=2*a*sin(«бета»/2)=a*(2-2*cos»бета»)^(1/2) или же b=2*a*cos»альфа». Легко все и просто. Особенно, если «набить руку» и попрактиковаться.

Теперь можем взглянуть, как вычислить длину равных сторон. Здесь тоже имеется два варианта, они немного сложнее, чем предыдущие. Выглядят громоздко, но пугаться этого не стоит. Как же найти «бедра»? Будем иметь следующий вид формул: a=b/(2*sin(«бета»/2))=b/(2-2*cos»бета»)^(1/2) или же a=b/(2/cos»альфа»).

Какую именно запись нужно использовать? Все зависит от поставленной задачи и условий. Конечно же, можно произвести проверку вычислений по всем формулам, если у вас есть абсолютно все данные. Теперь можем двигаться дальше.

Прямоугольный треугольник

Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда «теряются» данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы.

Дело все в том, что вопрос: «Как найти сторону прямоугольного треугольника?» — затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b.

Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем «альфа» и «бета» соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится — он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos»бета»=c*sin»альфа»=b*tg»альфа».

Сторону b найдем аналогичным способом: b=c*cos»альфа»=c*sin»бета»=a*tg»бета». Тогда наша гипотенуза находится при помощи: c=a/sin»альфа»=a/cos»бета» или c=b/cos»альфа»=b/sin»бета». Второй, более простой и привычный метод нахождения сторон прямоугольного треугольника — по теореме Пифагора. Она гласит: сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.

Значит, будем иметь следующее: a=(c*c-b*b)^(1/2), b=(c*c-a*a)^(1/2), c=(b*b+a*a)^(1/2). Вот простой и незамысловатый ответ на вопрос, как найти сторону треугольника. Не пугайтесь огромных вычислений.

Итоги

Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться «страшных» цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.

Источник: https://www.syl.ru/article/165121/mod_kak-nayti-storonu-treugolnika—v-pomosch-shkolniku

Как найти сторону треугольника?

Безусловно, чаще всего вопрос о том, как же найти неизвестную сторону треугольника возникает при проведении алгебраических или же геометрических расчетов, но иногда такая необходимость возникает и в обычной жизни, например, при построении каких-либо архитектурных чертежей или проведении расчетов.

В настоящий момент времени есть несколько различных способов решения такой задачи. И каждый способ отличается от предыдущего не только формулой, по которой производится расчет, но и исходными данными, которые необходимы для вычисления.

Способы нахождения сторон треугольника

Итак, самым простым и логичным ответом на вопрос: как находить стороны треугольника, является то, что необходимо найти решение по формуле. В зависимости от исходных данных, формулы могут быть самыми разными. Обычно необходимую сторону треугольника можно вычислить по:

1. Двум уже известным сторонам и углу, который находится между ними.
2. Двум углам и одной известной стороне.

Как видно, в любом, из двух названных случаях, все равно необходимо знать значения трех показателей. Без их знания никогда не будет возможным найти ответ на вопрос о том, как находить стороны треугольника.

Как найти неизвестную сторону треугольника

Итак, чтобы найти сторону треугольника которая не известна по условию при помощи первого способа необходимо использовать следующую формулу: с=v(а2+b2-2аb*cosC).

Что касается обозначений данной формулы, то а и b — это длины известных сторон, cosC угол, находящийся между ними.

На самом деле, для решения задачи о том, как найти неизвестную сторону в треугольнике, абсолютно нет никакой необходимости обладать какими-то особыми алгебраическими знаниями, вполне достаточно знать основы.

Для того чтобы найти сторону по второму способу понадобится следующая формула: sinA/a=sinB/b=sinC/с. Обозначения этой формулы аналогичны предыдущей, то есть В и С обозначают известные углы, а С — единственно известную сторону.

Но для того, чтобы полученные в ходе вычислений данные были точными, необходимо очень внимательно и правильно производить расчеты, лучше всего провести их два раза,  а в случае несоответствия результатов друг другу, произвести расчет еще раз.

Треугольник, имеющий одинаковые стороны

Стандартные формула расчета поиска неизвестной стороны обычного треугольника были приведены выше. Но всегда необходимо помнить о том, что для того, чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника, они не подходят.  И поэтому для решения данного вопроса существуют специальные отдельные формулы, которые подходят лишь для данного треугольника.

Итак, в первую очередь, обязательно нужно помнить, что высота такого треугольника — это, в то же время, и его медиана. А боковая сторона, которую необходимо найти, будет являться его гипотенузой.

Как всем известно, еще со школьной программы, гипотенуза данного треугольника находится по теореме Пифагора.

Поэтому для того, чтобы найти гипотенузу необходимо найти сумму длин известных сторон, и уже из полученного результата извлечь корень.

И хотя, на первый взгляд, может показаться, что вычисление неизвестной стороны любого треугольника весьма сложное и трудоемкое занятие, это не совсем так. Сложным оно будет лишь в первый раз. Главное, правильно следовать формуле для каждой конкретной задачи, и проверять полученный результат несколько раз. 

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-storonu-treugolnika

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник является таким, у которого между собой равны две стороны, а третья считается основанием. Чтобы определить размер боковой стороны, необходимо знать радиус окружности, описанной вокруг него, или один из углов и длину другой стороны.

В зависимости от того, какая величина известна, необходимо использовать соответствующие формулы, которые, в свою очередь, вытекают из теоремы косинуса или синуса, или из теоремы о проекциях.

Если Вы не знаете, как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, прочитайте перечисленные ниже способы ее нахождения.

Необходимо:

— линейка; — транспортир; — таблица Брадиса;

— усидчивость.

Инструкция:

• Допустим, что наш треугольник имеет основание b и угол α, который лежит между боковой стороной a и основанием. Предположим, что вокруг него описана окружность с R радиусом. В этом случае длина боковой стороны будет рассчитана таким образом: a=2R*sinα. Иными словами, она будет равна произведению синуса угла у основания на два радиуса описанной окружности вокруг треугольной фигуры.
• Если Вы знаете длину основания b и угол α между боковой стороной и ним, то Вы сможете легко узнать длину a – боковой стороны, воспользовавшись формулой: a=b/2cosα. Иными словами, длина боковой стороны равнобедренного треугольника будет равна частному основания на удвоенный синус угла α.
• Зная площадь и формулы для ее нахождения (S=(a*b/2)*(sinα/2) или S=(a*b/2)*(cosβ/2)), можно выразить длину a – боковой стороны: a=(2S/(sinα/2))*b или a=(2S/(cosβ/2))*b. Иными словами, длина будет равна произведению основания на отношение двух площадей на 1/2 синуса угла между основанием и боковой стороной или 1/2 косинуса угла между боковыми сторонами.
• Если известен периметр P и основание b, то, чтобы найти боковую сторону а, можно воспользоваться формулой a=(P-b)/2. Иными словами, она будет равна 1/2 разности периметра и основания.
• Если дана высота h равнобедренного треугольника, проведенная к основанию b, которое Вам известно, то боковую сторону а можно найти по тереме Пифагора: a=(h^2+b^2/4)^1/2. Иными словами, Вам необходимо будет найти квадратный корень.
• Если даны углы α при основании, угол β при вершине и основание b, боковую сторону можно найти из теоремы синусов: a=b*sinα/sinβ.

Похожие инструкции

https://www.youtube.com/watch?v=Nfdg4PePFL0

Найти котангенс 30

Почему-то у многих тригонометрия вызывает страх, ведь еще со школьной скамьи большинство не понимало, чем…

Как решать задачи по математике за 5 класс

Пятый класс – важнейший период в средней школе. Начальная школа осталась за плечами, и теперь начинается…

Решение задач по математике для 5 класса

Как решать задачи по математике для 5 класса? Ответ на данный вопрос можно дать по-разному. Все зависит от…

Площадь равнобедренного треугольника

Для того, чтобы находить площадь равнобедренного треугольника, необходимо разобраться с тем, что он из себя…

Источник: http://kak-legko.ru/ravnobedrennij-treugolnik

По двум сторонам и углу между ними. Параметры треугольника

Вы ввели следующие параметры треугольника

Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах)

Представляем небольшие калькуляторы основанные на универсальном решателе треугольников. Не все  могут отыскать этот калькулятор, поэтому с помощью частных решений , мы предоставляем возможность узнавать параметры треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Итак, если у нас есть треугольник вида

и  известны строны a, b и угол между ними, то однозначно определяется  неизвестная третья сторона, по формуле

Далее, можем по этой же формуле  находить оставшиеся неизвестными два угла. Например для угла в точке  A  формула будет такой:

И зная все эти параметры, совсем просто вычисляются и высоты, и медианы  и площадь треугольника.

Бот, по заданным трем параметрам, выведет все рассчитанные значения  в одной таблице.

Примеры решения:

Длина одной стороны 8 единиц, другой 14 единиц. Угол между ними 55 градусов.

Определить все возможные параметры треугольника.

В геометрии желательно или мысленно или на бумаге прорировать Ваш исходный треугольник, что бы Вы понимали что где находится и что надо найти. В противном случае, непонимание условия задачи влечет за собой неспособность её решить. 

Как Вы обозначите стороны на своем рисунке неважно. Поэтому и поля ввода имеют свободный вид, то есть можно написать a=8 или с=8. Ввод же угла   прост и вводится

 как численное значение, так как уже понятно, что он находится МЕЖДУ двумя УЖЕ заданными сторонами.

Вы ввели следующие параметры треугольника

Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах)

A = 35.150232566068  B = 89.849767433932  C = 55  S = 45.872514480183  a = 8  b = 14  c = 11.468168042777  ha = 11.468128620045  hb = 6.5532163543118  hc = 7.9999724993696  ma = 12.155634048814  mb = 6.9827959392127  mc = 9.8549622239589 p = 16.734084021388

Еще один пример

Решим классическую задачу сторона a=4 сторона b=3 а угол межд ними 90 градусов

так и запишем. Получим ответ.

Вы ввели следующие параметры треугольника

Рассчитанный треугольник и его свойства (в условных единицах)

A = 53.130102354156  B = 36.869897645844  C = 90  S = 6  a = 4  b = 3  c = 5  ha = 3  hb = 4  hc = 2.4  ma = 3.605551275464  mb = 4.2720018726587  mc = 2.5 p = 6

Получили что это прямоугольный треугольник.

И напоследок.

Кто попал впервые на эту страницу смогут сразу не понять, что за обозначения означают те, или иные символы.

Ниже представлен список, для  соответствия.

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр p

Угол А

Угол B

Угол C

Площадь треугольника S

Высота ha на сторону a

Высота hb на сторону b

Высота hc на сторону c

Медиана ma на сторону a

Медиана mb на сторону b

Медиана mc на сторону c

Координаты вершин (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Источник: http://www.abakbot.ru/online-2/334-treug1

Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников

§7(41). Теорема  тангенсов

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство.  В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

§8(42). Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.
Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным: А + В < 180°— будем считать выполненным.

https://www.youtube.com/watch?v=-oGIMeQg6Xg

Можно считать известными все три угла, так как А = 180° — (В + С).

Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:

,   откуда  

Площадь вычисляется по формуле:              

Пример. Решить треугольник по следующим данным а ≈  17,4, В ≈  44°30', С ≈  64°.

Решение при помощи натуральных таблиц. Находим угол:

А = 180° — (В + С) ≈ 180° — (44°30' + 64°) ≈  71°30'.

Вычисляем стороны. Имеем|

sin В ≈  0,7009; sin С ≈  0,8988, sin А ≈  0,9483

и далее

Деление на sin А можно заменить умножением на обратное число. По таблицам Брадиса (см.  табл.  II) найдем:  1/0,9483 ≈  1,055.

Вычисления выполнены по правилам приближённых вычислений. Значения синусов взяты из таблиц Брадиса; во всех промежуточных результатах сохраняются четыре значащие цифры (правило запасной цифры), а окончательный результат округлён до трёх значащих цифр.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

b = a sin B/sin A,   lg b = lg a + lg sin В — lg sin A.

По таблицам найдем:

По таблицам Брадиса найдём b = 12,86. Однако в ответе следует оставить три значащие цифры, так как значение а дано с тремя значащими цифрами; поэтому b  ≈  12,9.

Сторона с вычисляется аналогично:

c = a sin C/sin A,   lg c = lg a + lg sin C — lg sin A.

§9(43). Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц.  Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

с = / а2 + b2 — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

а2 =b2 + с2 — 2bc cos А

Так как 0 < А < 180°, то

 ;  

(ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника).

Решение   при   помощи   логарифмических   таблиц.

Известна сумма углов A + В = 180° — С, откуда   (A+C)/2 = 90° — C/2.    

Разность углов A — В можно вычислить, воспользовавшись теоремой тангенсов:

Углы А и В определяются из системы уравнений:

Сторону с можно вычислить по теореме синусов:

c = a sin C/sin A

Пример. Дано: а ≈  49,4; b ≈  26,4; С ≈  47°20'; найти А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

с2 = а2 + b2 — 2ab cos С ≈  49,42 + 26,42 — 2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20'

По таблицам квадратов найдём:

а2 ≈ (49,4)2 ≈ 2449;   b2  ≈ (26,4)2 ≈ 697,0

и далее

2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20' ≈ 2 • 49,4 • 2,64 • 0,6778 ≈ 1768.

Следовательно, с2 ≈ 2440 + 697 — 1768 ≈ 1369. По таблицам квадратных корней
с ≈ 37,0. Далее

А ≈ arc cos (—0,191); угол А — тупой.

Находим дополнительный угол

180° — А ≈ arc cos (0,091) ≈ 79°; А ≈ 180° — 79° = 101°

(с округлением до 10'). Наконец,

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим углы A и В.

Из системы уравнений

найдём: A  ≈ 101°, В  ≈ 31°40'.

§ 10 (44). Решение треугольника по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из них

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

Решение.

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны. Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А. Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.
Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:
откуда
и затем С = 180° — (A + В).  Сторона с находится по теореме синусов:
С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым. Следовательно, при А > 90° задача не имеет решения. Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >b sinA. Для угла В возможны два значения: В = В1 (острый) и В = В2 (тупой). Задача имеет два решения.	a)
Значения угла В вычисляются по теореме синусов:            откуда             и   B2 = 180° — B1    Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.
Из чертежа b) видно, что при CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений. В этом   случае   и угол В вычислить нельзя. При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.	b)
Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника: В = А; С = 180° — 2А;   с = 2AD = 2а cos A.

Пример. Вычислить стороны и углы треугольника, если дано:

а ≈  73,5;    b ≈  86,4;   A ≈  49°0'.

Решение:   

(деление на 73,5 можно заменить умножением на  1/73,5  ≈  0,0136,  табл. 11).

Так как в данном случае а < b и   b sin A/a < 1,   то задача имеет два решения:

1) В1 ≈ arc sin 0,887 = 62°30';       C1 ≈ 180° — (49° + 62°30') = 68°30'

(с округлением до 10');

§11(45). Решение треугольника по трем сторонам

Задача.   Даны три стороны треугольника; вычислить его углы.

Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b — среднюю, а через с — большую: а < b < с.

По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует.  Будем считать,  что с < а + b.

Решение при помощи натуральных таблиц.

Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а2 =b2 + с2 — 2bc cos А
b2 =c2 + a2 — 2ca cos B, откуда

  и    (так как 0°< А 

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Trigonometrija/trig006.htm