Как найти площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

На данном уроке мы рассмотрим площадь поверхности пирамиды и ее составляющие, а именно площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды.

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости лежит n-угольник с вершинами и т. д. Вне плоскости лежит точка Р. Точка Р соединяется с вершинами n-угольника – получаем пирамиду (рисунок 1).

Рис. 1. Пирамида

Определение.

Многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников,… называется пирамидой.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).

Рис. 2. Нахождение площади n-угольника

Рассмотрим треугольник, в нем найдем угол. Таких углов всего n штук, значит:

Половина этого угла, угол.

Треугольник, где М – середина стороны, прямоугольный. В нем ОМ – радиус вписанной в n-угольник окружности, – радиус описанной окружности. Поскольку у нас задан по условию катет рассматриваемого прямоугольного треугольника () и мы нашли острый угол (), то по соотношениям в прямоугольном треугольнике мы легко найдем все остальные элементы.

Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида. Чтобы найти площадь этого треугольника, найдем катет ОМ прямоугольного треугольника:

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь квадрата:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по. Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где – периметр основания; – апофема.

Определение.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания и высота. Найти площадь боковой поверхности.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется . высота равняется . Высота и сторона основания полностью задают правильную пирамиду.

По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания.

Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию –.

Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Задача 2

РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ.. Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу. Отсюда заключаем:

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды:, где – угол наклона боковой грани к основанию.

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р. – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона боковой грани к основанию пирамиды одинаков для всех боковых граней, то есть если и – середины отрезков ВС, АС и АВ соответственно, то:.

В задаче 2 мы доказали:.

Аналогично:

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом. Докажите, что вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в треугольник АВС окружности и что.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС –.

Поскольку – перпендикуляр к АВ, то по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично: и. Тогда – линейный угол двугранного угла при ребре АВ, – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, – линейный угол двугранного угла при ребре АС. По условию. Так, имеем равные прямоугольные треугольники: (по общему катету и равному острому углу). Из равенства треугольников следует равенство катетов:.

Так, точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то есть это центр его вписанной окружности, что и требовалось доказать.

Поскольку РО – высота пирамиды, то треугольники АОВ, АОС, СОВ – это проекции треугольников АРВ, АРС и ВРС соответственно. Имеем (основываясь на задаче 2):

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Fmclass.ru (Источник).
Rapidus.ru (Источник).
2mb.ru (Источник).

Домашнее задание

Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
Задача 2: основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ – 29 см, катет АС – 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Задача 3: основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы и. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Источник: http://mirror.vsibiri.info/interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/ploschad-poverhnosti-piramidy-konspekt.htm

Площадь боковой поверхности пирамиды

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию.

Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко.

В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами.

Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника.

Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию. Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Источник: http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-bokovoj-poverxnosti-piramidy/

Площадь боковой поверхности разных пирамид

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Оглавление

1 Виды фигуры
2 Термины и обозначения
3 Формулы площади
4 Видео

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два – большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa ( P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*( p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/ploshhad-bokovoj-poverhnosti-raznyh-piramid

Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/piramidi/pravilnye-piramidy-ploshhad-poverxnosti.html

Найти площадь поверхности пирамиды онлайн на algebra24

Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь основания равна 15см², а площадь боковой поверхности равна 5см².
Дано:

$$ So = 15 см^2 $$

$$ Sb = 5 см^2 $$

Решение:

Зная площадь основания и площадь боковой поверхности пирамиды, найдем общую площадь:

$$ Sp = Sb + So $$

$$ Sp = 15 + 5 = 20 см^2 $$

Ответ:

$$ Sp = 20 см^2 $$
Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь основания равна 17см², апофема равна 5 см, а периметр основания 8 см.
Дано:

$$ So = 17 см^2 $$

$$ P = 8 cм $$

$$ a = 5 cм $$

Решение:

$$ Sb = P cdot frac{a}{2} = 20 см^2 $$

По формуле площади поверхности правильной пирамиды находим площадь:

$$ Sp = Sb + So $$

$$ Sp = 17 + 20 = 37 см^2 $$

Ответ:

$$ Sp = 37 см^2 $$
Найдите площадь поверхности пирамиды, если объем пирамиды равен 7 см³, а высота, проведенная к основанию, 3 см.
Дано:

$$ V = 7 см^3 $$

$$ h = 3 cм $$

Решение:

Зная объем пирамиды, находим ее площадь:

$$ V = S cdot frac{h}{3} $$

$$ S = 3 cdot frac{V}{h} = 7 см^2 $$

Ответ:

$$ Sp = 7 см^2 $$
Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее апофема равна 6 см, а основании лежит правильный четырехугольник, площадь которого равна 16 см².
Дано:

$$ a = 6 см $$

$$ So = 16 cм^2 $$

Решение:

Из формулы площади основания найдем сторону основания b:

$$ So = b^2 $$

$$ b= sqrt{So} $$

$$ b = 4 см $$

Найдем периметр основания:

$$ P = 4 cdot b = 16 см $$

Найдем площадь поверхности пирамиды:

$$ S = So + Sb = So + P cdot frac{a}{2} $$

Боковая площадь:

$$ Sb = P cdot frac{a}{2} = 16 cdot frac{6}{2} = 48 см^2 $$

$$ S = 48 + 16 = 64 см^2 $$

Ответ:

$$ Sp = 64 см^2 $$
Найдите площадь поверхности пирамиды, если площадь ее основания равна 20 см², ребро боковой грани b = 10 см, основание боковой грани c = 10 см.
Дано:

$$So = 20 см^2 $$

$$ b = 10 см $$

$$ c = 10 см $$

Решение:

Зная, что апофема — это перпендикуляр опущенный из вершины грани, по формуле Пифагора найдем перпендикуляр равностороннего треугольника в основании:

$$ a = sqrt{ (b^2 — left(frac{c}{2}
ight)^2 ) } $$

$$ a = sqrt{ (100-25) } = 5 sqrt{3} $$

Найдем периметр основания равностороннего треугольника:

$$ P = 3 cdot b = 30 см $$

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$$ Sb = P cdot frac{a}{2} = 30 cdot frac{ 5 sqrt{3} }{2} = 75 sqrt{3}$$

Найдем площадь поверхности пирамиды:

$$ S = So + Sb $$

$$ S = 20 + 75sqrt{3} см^2 $$

Ответ:

$$ Sp = 149.9 см^2 $$

Источник: https://algebra24.ru/najti-ploshhad-poverhnosti-piramidy

Площадь полной и боковой поверхности конуса

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы.

В данном случае она будет: Подставляем значения в формулу: Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней.

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Для начала найдем периметр оснований. Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида – это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции.

Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади.

Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами.

Найдем периметр большего основания: Таким же образом находим периметр меньшего основания: Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды.

Подставляем данные в формулу: Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.

Помним, что данная формула применяется только для правильной усеченной пирамиды. Для начала рассчитаем площадь оснований. Найдем площадь большего основания: Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность. Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды.

Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы. Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема.

Задача 1. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Для начала найдем площадь основания: Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды, введите значения периметра пирамиды и апофемы, затем нажмите кнопку «ВЫЧИСЛИТЬ». Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.

Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц. Здесь P — периметр основания пирамиды, l — ее апофема. Здесь φ — двугранный угол при основании пирамиды.

Здесь P — периметр основания пирамиды, а l — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

В остальных случаях, вообще говоря, чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно найти площадь каждой ее боковой грани и полученные результаты сложить.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность. Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить. Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра.

Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Мы с вами знаем, что такое цилиндр, попробуем найти площадь его поверхности. Конечно, измерить площадь боковой поверхности цилиндра просто так не получится. Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость.

Такой прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению ее апофемы на половину периметра основания. Уточним прежде всего, что мы понимаем под площадью боковой поверхности конуса.

Площадь поверхности цилиндра

Так же можно описывать пирамиды вокруг конуса. Апофема описанной пирамиды просто равна образующей I конуса, апофема h вписанной пирамиды меньше образующей конуса, но удовлетворяет неравенству , где а — сторона основания вписанной пирамиды. Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.

Площадь усеченной пирамиды

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника. Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.

Призма представляет собой объемную (трехмерную) фигуру с двумя параллельными (и равными) гранями. Две параллельные грани являются треугольниками и называются основаниями.

Например, стороны основания равны 6 см, 5 см и 4 см; чтобы вычислить периметр, нужно сложить три стороны: 6+5+4=15{displaystyle 6+5+4=15}.

Высота призмы равна любой стороне боковой грани, которая не принадлежит основанию. Перемножьте периметр одного основания и высоту призмы. Если высота треугольника не дана, вычислите площадь по трем сторонам треугольника.

Основание – это сторона, к которой проведена высота (то есть сторона, перпендикулярная высоте). Например, если основание треугольника равно 6 см, формула запишется так: A=126h{displaystyle A={frac {1}{2}}6h}.

Подставьте высоту треугольника в формулу для вычисления площади треугольника.

Это второе значение, необходимое для вычисления площади поверхности призмы. Это общая площадь трех боковых граней (то есть площади оснований не учитываются), которая была вычислена в первом разделе.

Умножьте площадь основания на 2, а затем к результату прибавьте площадь боковой поверхности. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R.

Данную формулу нужно применять только в том случае, когда треугольник является прямоугольным.

Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Решение. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.

Источник: http://joivfrew.ru/ploshhad-polnoy-i-bokovoy-poverkhnosti/

Геометрия

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а его грани являются треугольниками, которые имеют одну общую вершину.

Пирамиды, в зависимости от количества углов и граней, бывают треугольными (три боковых грани), четырехугольными (четыре боковых грани) и так далее. Еще есть правильная пирамида, прямоугольная пирамида и усеченная пирамида.

Конус также является пирамидой, вернее частным ее случаем, но о нем будет описано в другом разделе.

На этой странице рассмотрены такие типы пирамид:

Правильная пирамида
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, образовавшийся в результате отсечения части пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Прямоугольная пирамида

Пирамида является прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды проходит перпендикулярно к ее основанию. В таком случае, это ребро и является высотой прямоугольной пирамиды.

Правильная пирамида

Основные условия для образования правильной пирамиды: в основании пирамиды должен лежать правильный многоугольник, а вершина пирамиды должна проецироваться в центр этого правильного многоугольника. Основные свойства, которыми обладает правильная пирамида:

боковые ребра правильной пирамиды равны
в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

Как найти боковое ребро правильной пирамиды?

Чтобы найти боковое ребро правильной пирамиды нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов высоты правильной пирамиды и радиуса окружности, описанного вокруг правильного многоугольника, который является основанием пирамиды.

b = √(H2 + R2)

Как найти высоту правильной пирамиды?

Высота правильной пирамиды находится по тому же принципу, как и боковое ребро правильной пирамиды. Преобразуя предыдущую формулу, получаем, что высота равна квадратному корню из разности квадратов бокового ребра и радиуса окружности, описанного вокруг основания пирамиды:

H = √(b2 — R2)

Как найти площадь основания правильной пирамиды?

Достаточно вспомнить, что в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, следовательно, нахождение площади основания правильной пирамиды сводится нахождению площади правильного многоугольника. Значит, если пирамида правильная нам нужно знать только сторону основания.

Так для правильной треугольной пирамиды, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник, площадь будет равна:

S = а2 × (√3)/4

В случае с четырехугольной правильной пирамидой еще проще, площадь квадрата, который лежит в основании правильной четырехугольной пирамиды, равна:

S = а2

Как найти площадь поверхности правильной пирамиды?

Для начала дадим определение такому понятию, как апофема. Апофема — это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, другими словами — перпендикуляр, опущенный из вершины на ребро основания.

Теперь перейдем непосредственно к поиску площади поверхности правильной пирамиды. Площадь поверхности правильной пирамиды находится как сумма площади основания пирамиды и половины произведения апофемы на периметр основания.

S = ½ × P(периметр) × L(апофема) + S(основания)

Как найти полную площадь правильной пирамиды?

Исходя их предыдущих формул для нахождения площади, просто складываем площадь основания правильной пирамиды и площадь ее боковой поверхности.

Как найти объем правильной пирамиды?

Объем правильной пирамиды находится как произведение одной трети площади основания правильной пирамиды (правильного многоугольника) на высоту пирамиды:

V = S(основания) × H / 3

Правильная треугольная пирамида

Правильная треугольная пирамида отличается от обычной треугольной пирамиды тем, что в ее основании лежит правильный треугольник, у которого все стороны и углы равны. Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр — это многоугольник, состоящий из четырех правильных треугольников, у него все ребра и грани равны между собой.

Как найти боковое ребро правильной треугольной пирамиды?

Чтобы найти боковое ребро правильной треугольной пирамиды нужно, как и в случае с правильной пирамидой, извлечь квадратный корень из суммы квадратов высоты правильной пирамиды и радиуса окружности, описанного вокруг правильного многоугольника, который является основанием пирамиды.

b = √(H2 + R2)

Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

Высота правильной треугольной пирамиды находится по тому же принципу, как и боковое ребро правильной треугольной пирамиды. Преобразуя предыдущую формулу, получаем, что высота равна квадратному корню из разности квадратов бокового ребра и радиуса окружности, описанного вокруг основания пирамиды:

H = √(b2 — R2)

Также высоту правильной треугольной пирамиды можно найти, если известен ее объем

H = 3 × V / a2

Как найти площадь основания правильной треугольной пирамиды?

Зная, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, то воспользуемся формулой для вычисления его площади, это и будет площадь нашего основания треугольной пирамиды:

S = а2 × (√3)/4

Как найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды?

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется как сумма площади основания пирамиды и половины произведения апофемы на периметр основания, который в случае с треугольной пирамидой и равносторонним треугольником в ее основании, равняется сумме трех сторон основания «a»:

S = S(основания) + 3/2 × a × L(апофемы)

Как найти объем правильной треугольной пирамиды?

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти как произведение одной трети площади основания правильной пирамиды (равностороннего треугольника) на высоту пирамиды. В итоге, зная высоту пирамиды «H» и сторону равностороннего треугольника в ее основании «a», получаем:

V = (√3)/12 × а2 × H

Источник: http://kak-najti.url.ph/piramida.php